Cinemática

 

Esta semana vamos a estudiar la cinemática, que es la rama de la ciencia que se encarga de estudiar y describir el movimiento de los cuerpos sin preocuparse por las causas que lo producen (eso lo estudia la dinámica).

Conceptos clave antes de empezar:

• Posición (s o x): El lugar exacto donde se encuentra el objeto en un momento dado.
• Trayectoria: La línea invisible que dibuja el objeto al moverse (puede ser recta o curva).
• Espacio recorrido (d): La distancia total que mide la trayectoria.
• Desplazamiento (Δx): La línea recta que une el punto de salida con el punto de llegada. ¡No siempre coincide con el espacio recorrido!

1. El Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Es el movimiento más sencillo de todos. Ocurre cuando un objeto va en línea recta y su velocidad es constante (no cambia, nunca frena ni acelera).

La fórmula mágica del MRU relaciona la velocidad (v), el espacio (d o x) y el tiempo (t):

v = d / t

Enunciado: Un coche viaja por una autopista recta a una velocidad constante de 90 km/h durante un tiempo de 2 horas. ¿Qué distancia ha recorrido?

Solución paso a paso:

1. Apuntamos los datos conocidos: v = 90 km/h y t = 2 h.
2. Despejamos la distancia de la fórmula original: d = v · t.
3. Sustituimos los valores: d = 90 · 2 = 180 km.

Respuesta: El coche ha recorrido una distancia total de 180 kilómetros.

2. El Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

En este movimiento la velocidad ya no es constante. El objeto va en línea recta pero su velocidad cambia de forma fija porque existe una aceleración (a).

Magnitud	Fórmula del MRUA	¿Qué significa cada letra?
Aceleración	a = (vf - v0) / t	vf: velocidad final v0: velocidad inicial
Velocidad Final	vf = v0 + a · t	a: aceleración t: tiempo transcurrido
Posición / Distancia	d = v0·t + ½·a·t2	Mide los metros totales avanzados.

Enunciado: Una moto está parada en un semáforo (v₀ = 0) y arranca con una aceleración constante de 2 m/s². ¿Qué velocidad tendrá al cabo de 5 segundos?

Solución paso a paso:

1. Apuntamos datos: v₀ = 0 m/s, a = 2 m/s², t = 5 s.
2. Elegimos la fórmula de la velocidad final: v_f = v₀ + a · t.
3. Sustituimos los números: v_f = 0 + 2 · 5 = 10 m/s.

Respuesta: Al cabo de 5 segundos, la moto alcanzará una velocidad de 10 m/s (que equivalen a 36 km/h).

3. Cambio de unidades: El factor de conversión estrella

En física de la ESO es obligatorio trabajar en las unidades del Sistema Internacional: la distancia en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la velocidad en metros por segundo (m/s). El cambio más repetido en los exámenes se resuelve con este truco directo:

• Para pasar de km/h a m/s → Divide el valor entre 3.6
• Para pasar de m/s a km/h → Multiplica el valor por 3.6

4. Casos Especiales de MRUA: Caída Libre y Lanzamiento Vertical

¿Qué pasa si en lugar de movernos en horizontal por el suelo dejamos caer un objeto o lo lanzamos hacia arriba? Estamos ante movimientos verticales regidos exactamente por las mismas normas del MRUA, pero con una gran ventaja: ¡la aceleración ya la conocemos y es siempre la gravedad (g)!

El valor de la gravedad: En la Tierra, la aceleración de la gravedad es de g ≈ 9,8 m/s² (a nivel escolar, a veces los profesores permiten redondear a 10 m/s² para que los cálculos sean más limpios).

A) Caída Libre (Dejar caer un objeto)

Ocurre cuando dejas caer un cuerpo desde una altura determinada sin empujarlo. Como se deja caer, su velocidad inicial siempre es cero (v₀ = 0). A medida que baja, la gravedad lo atrae haciendo que aumente su velocidad.

Fórmulas simplificadas: Velocidad final: v_f = g · t | Altura: h = ½ · g · t²

Enunciado: Se deja caer una piedra desde lo alto de un puente y tarda 3 segundos en chocar contra el agua. ¿Desde qué altura se cayó? (Usa g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

1. Datos conocidos: v₀ = 0 m/s, t = 3 s, g = 9,8 m/s².
2. Elegimos la fórmula de la altura recorriendo el eje vertical: h = ½ · g · t².
3. Sustituimos y resolvemos (¡recuerda hacer el cuadrado del tiempo primero!):
   h = 0,5 · 9,8 · 3² → h = 4,9 · 9 = 44,1 metros.

Respuesta: La piedra cayó desde una altura total de 44,1 metros.

B) Lanzamiento Vertical (Hacia arriba)

Ocurre cuando lanzas un objeto hacia el cielo. En este caso es obligatorio darle una velocidad inicial (v₀) para que pueda vencer a la gravedad. Al subir, la gravedad frena el objeto, por lo que **la aceleración se pone con signo negativo (-g)** en las fórmulas.

El objeto subirá hasta que su velocidad se agote por completo. En el punto más alto, **su velocidad final es cero (v_f = 0)** y ahí empezará a caer.

Enunciado: Lanzamos verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad de 19,6 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar su altura máxima y detenerse en el aire?

Solución paso a paso:

1. Datos: v₀ = 19,6 m/s. En la altura máxima, sabemos que v_f = 0 m/s. Como va hacia arriba, la gravedad frena: a = -9,8 m/s².
2. Usamos la fórmula de la velocidad: v_f = v₀ - g · t.
3. Sustituimos y despejamos el tiempo:
   0 = 19,6 - 9,8 · t → 9,8 · t = 19,6 → t = 19,6 / 9,8 = 2 segundos.

Respuesta: El balón tardará exactamente 2 segundos en subir hasta lo más alto antes de empezar a descender.

4. Movimientos Circulares: M.C.U. y M.C.A.

No todos los movimientos en la naturaleza ocurren en línea recta. Cuando un objeto gira alrededor de un punto central fijo dibujando una circunferencia, estamos ante un movimiento circular. En la ESO se estudian dos variantes básicas:

Las nuevas variables del giro: Al girar ya no medimos solo los metros en línea recta, sino los ángulos que barremos:

• Posición angular (φ o θ): El ángulo recorrido. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián (rad), no los grados. (Recuerda: una vuelta completa son 360° o 2π radianes).
• Velocidad angular (ω): La rapidez con la que gira el objeto. Se mide en rad/s (radianes por segundo).

A) Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Ocurre cuando el objeto gira describiendo una circunferencia a una velocidad angular constante (da siempre las mismas vueltas por minuto, como las agujas de un reloj o un viejo disco de vinilo).

Fórmula principal: ω = Δφ / t (Velocidad angular = Ángulo recorrido / tiempo).

En el M.C.U. aparecen dos conceptos fijos de examen:

• Período (T): El tiempo exacto (en segundos) que tarda el objeto en dar una vuelta completa.
• Frecuencia (f): El número de vueltas completas que da el objeto en un solo segundo. Su unidad es el Hercio (Hz).

Enunciado: Las aspas de un ventilador giran con una velocidad constante completando una vuelta cada 0,5 segundos. ¿Cuál es su período, su frecuencia y su velocidad angular en rad/s?

Solución paso a paso:

1. Período (T): Por definición, el tiempo de una vuelta es el período. Por tanto, T = 0,5 s.
2. Frecuencia (f): Es la inversa del período: f = 1 / T → f = 1 / 0,5 = 2 Hz (da dos vueltas por segundo).
3. Velocidad angular (ω): Sabemos que una vuelta completa equivale a un ángulo de 2π rad. Aplicamos la fórmula:
   ω = 2π / T → ω = 2π / 0,5 = 4π rad/s (aproximadamente 12,57 rad/s).

Respuesta: El período es de 0,5 s, la frecuencia es de 2 Hz y gira a una velocidad angular de 4π rad/s.

B) Movimiento Circular Acelerado (M.C.A. o M.C.U.A.)

Ocurre cuando el objeto gira en círculos pero su velocidad de giro **cambia de forma uniforme**, ya sea porque empieza a girar más rápido (acelera) o porque va frenando hasta detenerse. En este caso aparece la aceleración angular (α), que mide el cambio de velocidad angular en el tiempo y se expresa en rad/s².

Magnitud Lineal (MRUA)	Magnitud Angular equivalente (MCA)	Fórmula del M.C.A.
Aceleración (a)	Aceleración angular (α)	α = (ωf - ω0) / t
Velocidad final (vf)	Velocidad angular final (ωf)	ωf = ω0 + α · t
Ángulo / Posición (d)	Ángulo recorrido (φ)	φ = ω0·t + ½·α·t2

Enunciado: Un motor eléctrico que estaba girando a una velocidad de 10 rad/s se desconecta, tardando 5 segundos en detenerse por completo. ¿Cuál ha sido su aceleración angular?

Solución paso a paso:

1. Extraemos los datos: velocidad angular inicial ω₀ = 10 rad/s, tiempo t = 5 s. Como se detiene, la velocidad angular final es ω_f = 0 rad/s.
2. Elegimos la fórmula de la aceleración angular: α = (ω_f - ω₀) / t.
3. Sustituimos los valores en la ecuación:
   α = (0 - 10) / 5 → α = -10 / 5 = -2 rad/s².

Respuesta: El motor frena con una aceleración angular de -2 rad/s² (el signo negativo nos confirma que el objeto está perdiendo velocidad).

5. El Movimiento Pendular

El movimiento pendular ocurre cuando una masa suspendida de un hilo rígido e inextensible oscila de un lado a otro a partir de una posición de equilibrio, debido a la acción de la gravedad. Es el movimiento típico del péndulo de un reloj de pared, de un columpio o de un metrónomo.

Conceptos clave del péndulo:

• Oscilación completa: El trayecto de ida y vuelta que hace la masa desde que sale de un extremo hasta que regresa a ese mismo extremo.
• Amplitud (A): El ángulo o distancia máxima que se aleja el péndulo de su posición central de equilibrio.
• Período (T): El tiempo exacto (en segundos) que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa.

La Ley del Péndulo (Fórmula del Período)

El científico Galileo Galilei descubrió algo asombroso: el tiempo que tarda un péndulo en dar una oscilación no depende de la masa que cuelgue del hilo, ni tampoco de la amplitud (siempre que el ángulo sea pequeño, menor de 15°). ¡Solo depende de la longitud del hilo y de la gravedad!

La fórmula matemática para calcular el período (T) de un péndulo simple es:

T = 2π · √(L / g)

Donde:

• T: Período en segundos (s).
• L: Longitud del hilo en metros (m).
• g: Aceleración de la gravedad (9,8 m/s²).

Enunciado: Un estudiante de la ESO construye en el laboratorio un péndulo utilizando una cuerda de 0,98 metros de longitud. ¿Cuánto tiempo tardará el péndulo en realizar una oscilación completa de ida y vuelta? (Usa g = 9,8 m/s² y aproxima π ≈ 3,14).

Solución paso a paso:

1. Anotamos los datos: longitud L = 0,98 m y gravedad g = 9,8 m/s².
2. Aplicamos la fórmula del período: T = 2π · √(L / g).
3. Dividimos primero lo que hay dentro de la raíz:
   L / g = 0,98 / 9,8 = 0,1.
4. Calculamos la raíz cuadrada de 0,1:
   √0,1 ≈ 0,316.
5. Multiplicamos los valores finales:
   T = 2 · 3,14 · 0,316 ≈ 1,98 segundos (prácticamente 2 segundos).

Respuesta: El péndulo tardará aproximadamente 1,98 segundos en hacer un recorrido completo de ida y vuelta.

6. El Tiro Parabólico 

El tiro parabólico ocurre cuando lanzamos un objeto al aire con una velocidad inicial que forma un ángulo con el suelo (como el chut de un balón de fútbol, el lanzamiento de una canasta de baloncesto o un disparo de cañón). Su trayectoria dibuja una **parábola** perfecta.

El gran secreto del Tiro Parabólico: Para resolver estos problemas sin volverte loco, el truco consiste en descomponer el movimiento en dos ejes independientes que ocurren al mismo tiempo:
• Eje Horizontal (Eje X): No hay ninguna fuerza que frene o acelere el objeto. Por tanto, se mueve con un M.R.U. (velocidad constante).
• Eje Vertical (Eje Y): El objeto está sometido a la fuerza de la gravedad. Por tanto, se mueve con un M.R.U.A. (Lanzamiento vertical) donde la aceleración es -g.

Las Fórmulas de Descomposición

Si lanzamos un objeto con una velocidad inicial v₀ y un ángulo α, lo primero que debemos hacer siempre es calcular sus componentes de velocidad:

• Velocidad constante en el eje X: v_x = v₀ · cos(α)
• Velocidad inicial en el eje Y: v_0y = v₀ · sin(α)



Enunciado: Un futbolista chuta un balón con una velocidad de 20 m/s formando un ángulo de 30° con el suelo. ¿Qué altura máxima alcanzará el balón? (Datos: sin(30°) = 0,5; g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

1. Descomponer la velocidad: Solo nos interesa el eje vertical (Y) para calcular la altura. Hallamos la velocidad inicial en Y:
   v_0y = 20 · sin(30°) = 20 · 0,5 = 10 m/s.
2. Aplicar condición de altura máxima: En el punto más alto, el balón se detiene un instante antes de empezar a caer, por lo que su velocidad final en Y es cero (v_{f_y} = 0).
3. Calcular el tiempo de subida: Usamos la fórmula de la velocidad del MRUA verticales:
   v_{f_y} = v_0y - g · t → 0 = 10 - 9,8 · t → t = 10 / 9,8 ≈ 1,02 s.
4. Calcular la altura máxima (h): Usamos la ecuación de la posición en Y:
   h = v_0y · t - ½ · g · t²
   h = 10 · 1,02 - 0,5 · 9,8 · (1,02)²
   h = 10,2 - 4,9 · 1,04 → h = 10,2 - 5,1 = 5,1 m.

Respuesta: El balón alcanzará una altura máxima de 5,1 metros respecto al suelo.




Enunciado: Con los mismos datos del ejercicio anterior (balón lanzado a 20 m/s con un ángulo de 30°), calcula a qué distancia horizontal caerá el balón al suelo. (Dato: cos(30°) = 0,866).

Solución paso a paso:

1. Descomponer la velocidad en el eje X: Calculamos la velocidad horizontal, que se mantendrá constante todo el viaje:
   v_x = 20 · cos(30°) = 20 · 0,866 = 17,32 m/s.
2. Calcular el tiempo total de vuelo: Como la parábola es simétrica, el balón tarda lo mismo en subir que en bajar. Si tardó 1,02 segundos en subir (calculado en el Ejercicio 1), el tiempo total en el aire es el doble:
   t_vuelo = 1,02 · 2 = 2,04 s.
3. Calcular el alcance horizontal (x): Al tratarse de un M.R.U. en el eje horizontal, aplicamos su fórmula directa:
   x = v_x · t_vuelo → x = 17,32 · 2,04 = 35,33 m.

Respuesta: El balón tocará tierra a una distancia horizontal de 35,33 metros desde el punto de lanzamiento.

7. Velocidad de Escape y de Alcance

En problemas avanzados de cinemática y gravitación, es común calcular cómo interactúan dos cuerpos en movimiento, ya sea para escapar de la gravedad o para encontrarse en el camino.

A) Velocidad de Escape

Es la velocidad mínima inicial que necesita un cuerpo para escapar definitivamente de la atracción gravitatoria de un planeta o astro sin volver a caer. Depende de la masa del planeta (M) y de su radio (R).

v_e = √(2 · G · M / R)

Donde G es la Constante de Gravitación Universal (6,67·10^-11 N·m²/kg²).

B) Velocidad y Problemas de Alcance (Cinemática pura)

Ocurren cuando un objeto persigue a otro (por ejemplo, un coche de policía a un ladrón). Para resolverlos, la clave es plantear las ecuaciones de posición de ambos objetos e igualarlas (x₁ = x₂) para encontrar el tiempo exacto del encuentro.

Enunciado: Un camión circula por una recta a 20 m/s. Un coche sale desde el mismo punto 10 segundos después persiguiéndolo a 30 m/s. ¿Cuánto tardará el coche en alcanzar al camión?

Solución paso a paso:

1. Escribimos la ecuación de posición del camión: x_camión = 20 · t.
2. El coche sale 10 segundos tarde, por lo que su tiempo en movimiento es (t - 10). Su ecuación es: x_coche = 30 · (t - 10) = 30t - 300.
3. Igualamos ambas posiciones para el momento del alcance: 20t = 30t - 300.
4. Despejamos el tiempo: 300 = 10t → t = 30 segundos.

Respuesta: El coche alcanzará al camión tras 30 segundos desde que inició la marcha el camión (20 segundos desde que salió el coche).

8. Colisiones y Choques (Conservación del Momento)

Cuando dos cuerpos colisionan, la cinemática se apoya en una ley fundamental de la física: el Principio de Conservación del Momento Lineal (p = m·v). Antes y después del choque, la cantidad de movimiento total del sistema debe ser exactamente la misma.

Tipo de Colisión	¿Qué ocurre con los cuerpos?	Fórmula del Choque
Choque Elástico	Los cuerpos rebotan y se separan sin perder energía.	m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2
Choque Inelástico	Los cuerpos se quedan pegados tras el impacto y se mueven juntos a una velocidad final común (vf).	m1·u1 + m2·u2 = (m1 + m2) · vf

*Nota: En las fórmulas, u representa las velocidades iniciales antes del impacto y v las velocidades finales después.

Enunciado: Un coche de 1000 kg que viaja a 20 m/s choca por detrás contra un camión parado de 3000 kg (u₂ = 0). Si tras el impacto quedan enganchados, ¿a qué velocidad se moverán juntos?

Solución paso a paso:

1. Aplicamos la fórmula inelástica: m₁·u₁ + m₂·u₂ = (m₁ + m₂) · v_f.
2. Sustituimos los datos: 1000 · 20 + 3000 · 0 = (1000 + 3000) · v_f.
3. Operamos: 20000 = 4000 · v_f.
4. Despejamos la velocidad final: v_f = 20000 / 4000 = 5 m/s.

Respuesta: Tras el impacto, el conjunto coche-camión se desplazará en línea recta a una velocidad de 5 m/s.

9. Ejercicios Resueltos 

Para consolidar estos conceptos, vamos a analizar dos ejemplos prácticos detallados de cada tipología matemática:

Tipo 1: Velocidad de Escape 

Ejercicio 1.1 (Escapar de la Tierra): Calcula la velocidad de escape de la Tierra sabiendo que su masa es de 5,97 · 10²⁴ kg y su radio medio es de 6371 km.
Dato: G = 6,67 · 10^-11 N·m²/kg²

Solución paso a paso:

1. Cambio de unidades obligatorio: El radio debe estar en metros.
   R = 6371 km = 6.371.000 m = 6,371 · 10⁶ m.
2. Aplicar la fórmula: v_e = √(2 · G · M / R).
   v_e = √[2 · (6,67·10^-11) · (5,97·10²⁴) / (6,371·10⁶)]
3. Operar el numerador primero: 2 · 6,67·10^-11 · 5,97·10²⁴ = 7,964 · 10¹⁴.
4. Dividir y hacer la raíz:
   7,964·10¹⁴ / 6,371·10⁶ = 1,25 · 10⁸ → √(1,25·10⁸) ≈ 11180 m/s.

Respuesta: La velocidad de escape de la Tierra es de 11.180 m/s (unos 11,2 km/s).

Ejercicio 1.2 (Escapar de la Luna): La Luna tiene una masa mucho menor, de 7,35 · 10²² kg y un radio de 1737 km. ¿Es más fácil o más difícil escapar de ella? Calcúlalo.

Solución paso a paso:

1. Pasar el radio a metros: R = 1.737.000 m = 1,737 · 10⁶ m.
2. Sustituir en la ecuación:
   v_e = √[2 · (6,67·10^-11) · (7,35·10²²) / (1,737·10⁶)]
3. Resolver las operaciones:
   Numerador = 9,805 · 10¹²
   División = 5,644 · 10⁶ → Raíz cuadrada ≈ 2375 m/s.

Respuesta: La velocidad de escape es de 2375 m/s (2,37 km/s). Es mucho más fácil escapar de la Luna que de la Tierra debido a su menor gravedad.

Tipo 2: Problemas de Alcance y Encuentro 

Ejercicio 2.1 (Alcance con aceleración): Un ladrón huye en un coche a velocidad constante de 25 m/s (MRU). En el instante en que pasa delante de una patrulla, la policía arranca desde el reposo con una aceleración constante de 3 m/s² (MRUA). ¿Cuánto tardará la policía en alcanzarlo?

Solución paso a paso:

1. Ecuación del ladrón (MRU): x_L = 25 · t.
2. Ecuación de la policía (MRUA): Como v₀ = 0, la fórmula es x_P = ½ · a · t² → x_P = 0,5 · 3 · t² = 1,5t².
3. Igualar posiciones (x_L = x_P): 25t = 1,5t².
4. Resolver la ecuación: Podemos simplificar dividiendo ambos lados entre t (ya que t ≠ 0):
   25 = 1,5t → t = 25 / 1,5 = 16,67 segundos.

Respuesta: La patrulla de policía tardará 16,67 segundos en dar alcance al coche del ladrón.

Ejercicio 2.2 (Encuentro en sentidos opuestos): Dos ciudades A y B están separadas por 100 km. Un coche sale de A hacia B a 60 km/h, y en el mismo instante sale una moto de B hacia A a 40 km/h. ¿En qué punto del camino se cruzarán?

Solución paso a paso:

1. Ecuación del coche (sale del origen 0): x_coche = 60 · t.
2. Ecuación de la moto (viene desde el km 100 en sentido contrario): Al ir al revés, su velocidad resta: x_moto = 100 - 40 · t.
3. Igualar posiciones: 60t = 100 - 40t.
4. Resolver el tiempo: Pasamos las t al mismo lado: 100t = 100 → t = 1 hora.
5. Calcular la distancia: Sustituimos en el coche: x = 60 · (1) = 60 km.

Respuesta: Se cruzarán exactamente tras 1 hora de viaje, a una distancia de 60 km partiendo desde la ciudad A.

Tipo 3: Colisiones y Choques 

Ejercicio 3.1 (Choque elástico - Rebote): Una bola de billar blanca de 0,2 kg se mueve a 4 m/s e impacta de frente contra una bola roja de igual masa (0,2 kg) que estaba parada. Si tras el choque la bola blanca se detiene por completo, ¿con qué velocidad saldrá despedida la bola roja?

Solución paso a paso:

1. Principio de Conservación: m₁·u₁ + m₂·u₂ = m₁·v₁ + m₂·v₂.
2. Sustituir datos conocidos: La bola 2 (roja) está parada al inicio (u₂ = 0) y la bola 1 (blanca) se detiene al final (v₁ = 0):
   0,2 · 4 + 0,2 · 0 = 0,2 · 0 + 0,2 · v₂
3. Operar la ecuación: 0,8 = 0,2 · v₂.
4. Despejar v₂: v₂ = 0,8 / 0,2 = 4 m/s.

Respuesta: La bola roja saldrá despedida exactamente a la misma velocidad que llevaba la blanca: 4 m/s (se ha transferido el 100% de la cantidad de movimiento).

Ejercicio 3.2 (Choque inelástico - Sentidos contrarios): Un jugador de rugby de 90 kg corre hacia la derecha a 6 m/s y placa a otro jugador de 110 kg que venía de frente (hacia la izquierda) a 4 m/s. Si quedan abrazados tras el impacto, ¿hacia dónde y con qué velocidad se moverán?

Solución paso a paso:

1. ¡Atención al signo de las velocidades!: Definimos la derecha como positiva y la izquierda como negativa.
   • u₁ = +6 m/s
   • u₂ = -4 m/s (va en sentido contrario)
2. Aplicar fórmula inelástica: m₁·u₁ + m₂·u₂ = (m₁ + m₂) · v_f.
3. Sustituir los valores numéricos:
   90 · 6 + 110 · (-4) = (90 + 110) · v_f
   540 - 440 = 200 · v_f → 100 = 200 · v_f.

Despejar la velocidad final: v_f = 100 / 200 = 0,5 m/s.

Respuesta: Como el resultado es positivo, ambos jugadores se desplazarán juntos hacia la derecha a una velocidad lenta de 0,5 m/s.

Enunciado: Un arquero lanza una flecha desde el suelo con una velocidad inicial de 40 m/s y un ángulo de inclinación de 30°. Calcula el tiempo total que la flecha permanece en el aire hasta volver a tocar el suelo. (Datos: sin(30°) = 0,5; g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Descomponer la velocidad en el eje vertical (Y). El tiempo que un objeto permanece en el aire depende exclusivamente de su movimiento vertical. Calculamos su velocidad inicial en el eje Y:
  v_0y = v₀ · sin(α) → v_0y = 40 · sin(30°) = 40 · 0,5 = 20 m/s.
• Paso 2: Calcular el tiempo de subida. En el punto más alto de la trayectoria, la flecha deja de subir por un instante, por lo que su velocidad vertical final es cero (v_{f_y} = 0). Usamos la fórmula de la velocidad del MRUA:
  v_{f_y} = v_0y - g · t → 0 = 20 - 9,8 · t
  Despejamos el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima: 9,8 · t = 20 → t = 20 / 9,8 ≈ 2,04 segundos.
• Paso 3: Calcular el tiempo total de vuelo. Como el movimiento parabólico es perfectamente simétrico si sale y cae al mismo nivel del suelo, la flecha tarda exactamente lo mismo en subir que en bajar. Por tanto, multiplicamos el tiempo de subida por dos:
  t_total = 2,04 · 2 = 4,08 segundos.

Respuesta: La flecha permanecerá volando en el aire un tiempo total de 4,08 segundos.

Enunciado: Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Qué altura máxima logrará alcanzar antes de empezar a caer? (Usa g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar las condiciones del punto más alto. Cuando el proyectil llega a su altura máxima, se frena por completo antes de descender, lo que significa que su velocidad final es cero (v_f = 0 m/s). Como se desplaza hacia arriba en contra de la gravedad, la aceleración es negativa (a = -9,8 m/s²).
• Paso 2: Calcular el tiempo que tarda en subir. Usamos la ecuación de la velocidad en el MRUA:
  v_f = v₀ - g · t → 0 = 30 - 9,8 · t
  Despejamos el tiempo: 9,8 · t = 30 → t = 30 / 9,8 ≈ 3,06 segundos.
• Paso 3: Calcular la altura máxima (h). Aplicamos la fórmula de la posición vertical sustituyendo el tiempo de subida:
  h = v₀ · t - ½ · g · t²
  h = 30 · 3,06 - 0,5 · 9,8 · (3,06)²
  h = 91,8 - 4,9 · 9,36 → h = 91,8 - 45,86 = 45,94 metros.

Respuesta: El proyectil alcanzará una altura máxima de 45,94 metros.

Enunciado: Un objeto se deja caer desde la azotea de un edificio de 80 metros de altura. ¿Con qué velocidad impactará contra el suelo? (Usa g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar las variables iniciales. Al decir que el objeto "se deja caer", la velocidad inicial es automáticamente cero (v₀ = 0 m/s). La altura o espacio a recorrer es h = 80 m.
• Paso 2: Calcular el tiempo que tarda en caer. Usamos la fórmula de la posición para la caída libre (h = ½ · g · t²):
  80 = 0,5 · 9,8 · t² → 80 = 4,9 · t²
  Despejamos la t² dividiendo: t² = 80 / 4,9 ≈ 16,32.
  Hacemos la raíz cuadrada para hallar el tiempo: t = √16,32 ≈ 4,04 segundos.
• Paso 3: Calcular la velocidad final de impacto (v_f). Ahora que sabemos que tarda 4,04 segundos en caer, usamos la fórmula de la velocidad final:
  v_f = g · t → v_f = 9,8 · 4,04 = 39,59 m/s.

Respuesta: El objeto golpeará el suelo a una velocidad de 39,59 m/s (lo que equivale aproximadamente a unos 142,5 km/h).

Enunciado: Un tiovivo o carrusel de feria gira a una velocidad constante completando 12 vueltas cada minuto. Calcula su velocidad angular en radianes por segundo (rad/s), su período (T) y su frecuencia (f).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Calcular la velocidad angular (ω). El enunciado nos dice que da 12 vueltas por minuto (12 rpm). Sabemos que una vuelta completa son 2π rad y un minuto son 60 segundos. Pasamos las unidades:
  ω = (12 · 2π rad) / 60 s = 24π / 60 = 0,4π rad/s.
  Si aproximamos π ≈ 3,14, obtenemos: ω ≈ 1,26 rad/s.
• Paso 2: Calcular el período (T). El período es el tiempo que tarda en dar una sola vuelta. Usamos la relación con la velocidad angular:
  T = 2π / ω → T = 2π / 0,4π = 1 / 0,4 = 2,5 segundos.
• Paso 3: Calcular la frecuencia (f). La frecuencia es el número de vueltas por segundo (la inversa del período):
  f = 1 / T → f = 1 / 2,5 = 0,4 Hz.

Respuesta: El carrusel gira a una velocidad angular de 1,26 rad/s, tarda 2,5 segundos en dar una vuelta completa (período) y tiene una frecuencia de 0,4 Hz.

Enunciado: Las palas de un aerogenerador eólico giran alegremente a una velocidad de 6 rad/s. De repente, el viento calma y el freno automático empieza a actuar con una aceleración angular constante de -0,5 rad/s². ¿Cuánto tiempo tardarán las palas en detenerse por completo?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar los datos.
  • Velocidad angular inicial: ω₀ = 6 rad/s.
  • Aceleración angular: α = -0,5 rad/s² (es negativa porque frena).
  • Velocidad angular final: ω_f = 0 rad/s (porque se detiene por completo).
• Paso 2: Aplicar la fórmula de la velocidad del M.C.A.
  ω_f = ω₀ + α · t
• Paso 3: Sustituir y despejar el tiempo (t).
  0 = 6 + (-0,5) · t → 0 = 6 - 0,5t
  Pasamos el término con la incógnita al otro lado cambiando el signo: 0,5t = 6.
  Despejamos dividiendo: t = 6 / 0,5 = 12 segundos.

Respuesta: El aerogenerador tardará exactamente 12 segundos en pararse por completo desde que se activó el freno.

Enunciado: Un relojero está diseñando un clásico reloj de abuelo de pared. Para que el mecanismo funcione de forma exacta, necesita que el péndulo tarde exactamente 2 segundos en realizar una oscilación completa de ida y vuelta (es decir, un período T = 2 s). ¿Qué longitud exacta en metros debe darle a la cuerda del péndulo? (Usa g = 9,8 m/s² y aproxima π² ≈ 9,86).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Plantear la fórmula del período del péndulo.
  T = 2π · √(L / g). En este ejercicio, la incógnita es la longitud (L).
• Paso 2: Despejar la longitud elevando al cuadrado. Para quitar la raíz, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
  T² = (2π)² · (L / g) → T² = 4π² · L / g.
  Despejamos la L pasando la gravedad multiplicando y el resto dividiendo:
  L = (T² · g) / (4π²).
• Paso 3: Sustituir los valores numéricos y resolver.
  L = (2² · 9,8) / (4 · 9,86)
  L = (4 · 9,8) / (4 · 9,86).
  Podemos simplificar eliminando el 4 que multiplica arriba y abajo: L = 9,8 / 9,86 ≈ 0,994 metros.

Respuesta: El relojero debe ajustar la longitud de la cuerda a exactamente 0,994 metros (unos 99,4 centímetros) para que el período sea de 2 segundos.

Enunciado: Un ciclista avanza por un tramo recto de carretera a una velocidad constante de 6 m/s. ¿Cuántos minutos tardará en recorrer una distancia total de 5,4 kilómetros?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Homogeneizar unidades. La distancia está en kilómetros, así que la pasamos al Sistema Internacional (metros): d = 5,4 · 1000 = 5400 m.
• Paso 2: Aplicar la fórmula del tiempo. Partiendo de v = d / t, despejamos el tiempo: t = d / v.
• Paso 3: Calcular los segundos y pasar a minutos.
  t = 5400 / 6 = 900 segundos.
  Pasamos a minutos dividiendo entre 60: 900 / 60 = 15 minutos.

Respuesta: El ciclista tardará exactamente 15 minutos en completar el recorrido.

Enunciado: Un tren de alta velocidad que viaja a 50 m/s frena ante una estación con una aceleración constante de -2 m/s². ¿Qué distancia total recorrerá desde que empieza a frenar hasta que se detiene por completo?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar datos. Velocidad inicial v₀ = 50 m/s, aceleración a = -2 m/s² y velocidad final v_f = 0 m/s (parado).
• Paso 2: Calcular el tiempo de frenado. Usamos v_f = v₀ + a · t → 0 = 50 - 2t → 2t = 50 → t = 25 segundos.
• Paso 3: Calcular la distancia de frenado. Usamos la ecuación de posición:
  d = v₀·t + ½·a·t² → d = 50 · 25 + 0,5 · (-2) · 25²
  d = 1250 - 1 · 625 = 625 metros.

Respuesta: El tren necesita recorrer una distancia de 625 metros para detenerse de forma segura.

Enunciado: Dos pueblos, A y B, están separados por una línea recta de 600 metros. Un peatón sale de A hacia B caminando a 2 m/s. Al mismo tiempo, otro peatón sale de B hacia A corriendo a 4 m/s. ¿A qué distancia del pueblo A se cruzarán en el camino?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Establecer las ecuaciones de posición. Tomamos el pueblo A como origen (x = 0). El peatón de B sale desde la posición x = 600 y se mueve hacia la izquierda (velocidad negativa):
  • x_A = 2 · t
  • x_B = 600 - 4 · t
• Paso 2: Igualar posiciones para hallar el tiempo de encuentro.
  2t = 600 - 4t → 6t = 600 → t = 100 segundos.
• Paso 3: Calcular la posición del cruce. Sustituimos el tiempo en la ecuación del peatón A:
  x_A = 2 · 100 = 200 metros.

Respuesta: Se cruzarán en el camino exactamente a los 100 segundos de salir, a una distancia de 200 metros del pueblo A.

Enunciado: Un ladrón huye en un coche a una velocidad constante de 25 m/s. Un coche de policía que se encuentra parado arranca justo cuando el ladrón pasa a su lado, persiguiéndolo con una aceleración constante de 2 m/s². ¿Cuánto tiempo tardará la policía en alcanzar al ladrón?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Plantear las ecuaciones de posición. El ladrón se mueve con MRU y la policía con MRUA partiendo del reposo (v₀ = 0):
  • x_ladrón = 25 · t
  • x_policía = ½ · a · t² = 0,5 · 2 · t² = t²
• Paso 2: Igualar las ecuaciones para el momento del alcance.
  t² = 25t
• Paso 3: Resolver la ecuación. Simplificamos dividiendo ambos lados entre t (sabiendo que t ≠ 0):
  t = 25 segundos.

Respuesta: El coche de policía logrará alcanzar al vehículo del ladrón tras una persecución de 25 segundos.

Enunciado: Desde una ventana situada a una gran altura se lanza un objeto verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m/s. Si impacta contra el suelo con una velocidad final de 34,4 m/s, ¿durante cuántos segundos estuvo cayendo? (Usa g = 9,8 m/s²).

Solución paso a paso:

• Paso 1: Analizar signos y datos. Como el movimiento es hacia abajo a favor de la gravedad, podemos tomar el sentido hacia abajo como positivo para simplificar: v₀ = 5 m/s, v_f = 34,4 m/s, y a = g = 9,8 m/s².
• Paso 2: Aplicar la fórmula de la velocidad.
  v_f = v₀ + g · t
• Paso 3: Sustituir los valores y despejar el tiempo (t).
  34,4 = 5 + 9,8 · t → 34,4 - 5 = 9,8 · t → 29,4 = 9,8 · t.
  Despejamos dividiendo: t = 29,4 / 9,8 = 3 segundos.

Respuesta: El objeto estuvo cayendo por el aire durante exactamente 3 segundos.

Enunciado: Un guepardo arranca desde el reposo persiguiendo a una presa acelerando a 4 m/s² durante 5 segundos (Fase 1). Al terminar esos 5 segundos, mantiene la velocidad máxima alcanzada constante durante otros 3 segundos (Fase 2). ¿Qué distancia total ha recorrido el guepardo en todo el proceso?

Solución paso a paso:

• Fase 1 (M.R.U.A.): Arranca de cero (v₀ = 0), acelera a a = 4 m/s² durante t = 5 s.
  • Distancia 1: d₁ = ½ · a · t² = 0,5 · 4 · 5² = 2 · 25 = 50 metros.
  • Velocidad final alcanzada: v_f = v₀ + a · t = 0 + 4 · 5 = 20 m/s.
• Fase 2 (M.R.U.): Mantiene la velocidad constante (v = 20 m/s) durante t = 3 s.
  

• Distancia 2: d₂ = v · t = 20 · 3 = 60 metros.

Distancia Total: Sumamos los tramos de ambas fases:

d_total = d₁ + d₂ = 50 + 60 = 110 metros.


Respuesta: El guepardo recorre una distancia total combinada de 110 metros.

Enunciado: Un tren de mercancías avanza por una vía recta a una velocidad constante de 15 m/s. ¿Cuántos kilómetros logrará recorrer si mantiene esta marcha durante exactamente 1,5 horas?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Homogeneizar las unidades. La velocidad está en metros por segundo (m/s) y el tiempo en horas (h). Vamos a pasar el tiempo a segundos para poder operar correctamente:
  t = 1,5 h · 3600 s/h = 5400 segundos.
• Paso 2: Aplicar la fórmula del espacio. En el M.R.U., la distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo:
  d = v · t → d = 15 · 5400 = 81000 metros.
• Paso 3: Pasar el resultado a kilómetros. Como el enunciado nos pide la distancia en kilómetros, dividimos los metros entre 1000:
  81000 m / 1000 = 81 km.

Respuesta: El tren de mercancías habrá recorrido una distancia total de 81 kilómetros.

Enunciado: Un coche de carreras entra en la recta de meta a una velocidad de 20 m/s y pisa el acelerador a fondo, logrando una aceleración constante de 4 m/s². ¿Qué distancia total habrá recorrido tras pasar 6 segundos acelerando?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar las variables.
  • Velocidad inicial: v₀ = 20 m/s.
  • Aceleración: a = 4 m/s².
  • Tiempo: t = 6 s.
• Paso 2: Aplicar la fórmula de la posición. Usamos la ecuación completa del MRUA para calcular el espacio avanzado:
  d = v₀ · t + ½ · a · t²
• Paso 3: Operar con cuidado. Recuerda resolver primero la potencia del tiempo antes de multiplicar:
  d = (20 · 6) + (0,5 · 4 · 6²)
  d = 120 + (2 · 36) → d = 120 + 72 = 192 metros.

Respuesta: El coche de carreras habrá avanzado un espacio de 192 metros durante esos 6 segundos.

Enunciado: Un ciclista amateur circula por una carretera recta a una velocidad constante de 6 m/s. En ese mismo instante, 60 metros por detrás de él, un ciclista profesional sale en su persecución a una velocidad constante de 9 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará el profesional en alcanzar al amateur?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Plantear el sistema de referencia. Situamos el punto cero (x = 0) en el lugar de salida del ciclista profesional. Esto significa que el amateur empieza ya en la posición x = 60 m.
• Paso 2: Escribir las ecuaciones de posición (M.R.U.).
  • Profesional: x₁ = 9 · t
  • Amateur: x₂ = 60 + 6 · t
• Paso 3: Igualar las posiciones para el momento del alcance. En el instante del encuentro, x₁ = x₂:
  9t = 60 + 6t
• Paso 4: Resolver la ecuación. Pasamos las incógnitas a la izquierda restando:
  9t - 6t = 60 → 3t = 60 → t = 60 / 3 = 20 segundos.

Respuesta: El ciclista profesional tardará exactamente 20 segundos en alcanzar al amateur.