Sucesiones y progresiones

 

Estos días vamos a adentrarnos en el mundo de las sucesiones numéricas y a dominar sus dos tipos más famosos: las progresiones aritméticas y las geométricas. Entender este tema te ahorrará mucho tiempo en tus exámenes de matemáticas.

¿Qué es una sucesión? Es una lista ordenada de números que siguen una regla fija. A cada número de la lista se le llama término y se representa con una letra y un subíndice (por ejemplo, a₁ es el primer término, a₂ el segundo, y a_n es el término general).

1. El Término General (a_n)

El término general es como una "fórmula mágica" que nos permite calcular cualquier número de la sucesión sustituyendo la n por la posición que buscamos.

Ejemplo: Si el término general es a_n = 2n + 1:

• El término 1 es: a₁ = 2(1) + 1 = 3
• El término 2 es: a₂ = 2(2) + 1 = 5
• El término 50 es: a₅₀ = 2(50) + 1 = 101 ¡Sin necesidad de escribir todos los intermedios!

2. Progresiones Aritméticas (P.A.)

Una progresión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior. A esa cantidad fija se la llama diferencia (d).

Ejemplo clásico: 3, 7, 11, 15, 19... (Vemos que siempre sumamos 4. Por tanto, a₁ = 3 y d = 4).

Fórmulas Clave de la P.A.

• Término General: a_n = a₁ + (n - 1) · d
• Suma de los "n" primeros términos: S_n = (a₁ + a_n) · n / 2

Ejercicio resuelto de P.A.

Enunciado: En la progresión 5, 8, 11, 14... calcula el término 20 (a₂₀) y la suma de los 20 primeros términos.

1. Identificamos los datos: El primer término es a₁ = 5 y la diferencia es d = 3 (porque va de 3 en 3).
2. Calculamos a₂₀ con el término general:
   a₂₀ = 5 + (20 - 1) · 3 → a₂₀ = 5 + 19 · 3 = 62.
3. Calculamos la suma (S₂₀):
   S₂₀ = (5 + 62) · 20 / 2 → S₂₀ = 67 · 10 = 670.

3. Progresiones Geométricas (P.G.)

Una progresión es geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando o dividiendo el anterior por una cantidad fija. A esta cantidad constante se la conoce como razón (r).

Ejemplo clásico: 2, 6, 18, 54... (Vemos que siempre multiplicamos por 3. Por tanto, a₁ = 2 y r = 3).

Fórmulas Clave de la P.G.

• Término General: a_n = a₁ · r^{(n - 1)}
• Suma de los "n" primeros términos: S_n = (a_n · r - a₁) / (r - 1)
• Suma de infinitos términos (solo si -1 < r < 1): S_∞ = a₁ / (1 - r)

Ejercicio resuelto de P.G.

Enunciado: En la progresión 3, 6, 12, 24... calcula el término número 6 (a₆).

1. Identificamos los datos: El primer término es a₁ = 3 y la razón es r = 2 (porque se va duplicando).
2. Aplicamos la fórmula del término general para n = 6:
   a₆ = 3 · 2^{(6 - 1)} → a₆ = 3 · 2⁵
3. Calculamos la potencia primero (2⁵ = 32) y luego multiplicamos:
   a₆ = 3 · 32 = 96.

4. Ejercicios Resueltos de Sucesiones 

A continuación, tienes una batería de ejercicios típicos resueltos paso a paso para que entiendas perfectamente cómo aplicar las fórmulas en diferentes situaciones.

Ejercicio 1: Obtener el término general de una Progresión Aritmética

Enunciado: Halla el término general de la progresión aritmética: -3, 1, 5, 9, 13... y calcula el término que ocupa la posición 100.

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar datos básicos. El primer término es a₁ = -3. Calculamos la diferencia restando dos términos consecutivos (por ejemplo, el segundo menos el primero): d = 1 - (-3) = 4. Va sumando de 4 en 4.
• Paso 2: Construir el término general. Usamos la fórmula general a_n = a₁ + (n - 1) · d:
  a_n = -3 + (n - 1) · 4
  Desarrollamos el paréntesis multiplicando por 4: a_n = -3 + 4n - 4
  Simplificamos agrupando los números: a_n = 4n - 7.
• Paso 3: Calcular la posición 100. Sustituimos la n por 100 en nuestra fórmula simplificada:
  a₁₀₀ = 4(100) - 7 = 400 - 7 = 393.

Respuesta: El término general es a_n = 4n - 7 y el término 100 es 393.

Ejercicio 2: Obtener el término general de una Progresión Geométrica

Enunciado: Determina el término general de la progresión geométrica: 4, -8, 16, -32... y calcula su término número 8.

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar datos básicos. El primer término es a₁ = 4. Calculamos la razón dividiendo el segundo término entre el primero: r = -8 / 4 = -2. (Como la razón es negativa, los signos van alternando).
• Paso 2: Aplicar la fórmula del término general. La fórmula es a_n = a₁ · r^{(n - 1)}. Sustituimos los valores:
  a_n = 4 · (-2)^{(n - 1)}. (Nota: No se puede multiplicar el 4 por el -2 porque el -2 tiene una potencia).
• Paso 3: Calcular el término 8. Sustituimos n = 8:
  a₈ = 4 · (-2)^{(8 - 1)} → a₈ = 4 · (-2)⁷
  Calculamos la potencia de base negativa e índice impar (da resultado negativo): (-2)⁷ = -128.
  Multiplicamos al final: a₈ = 4 · (-128) = -512.

Respuesta: El término general es a_n = 4 · (-2)^n-1 y el octavo término es -512.

Ejercicio 3: P.A. cuando no te dan el primer término

Enunciado: De una progresión aritmética sabemos que el término que ocupa la posición 4 vale 16 (a₄ = 16) y el de la posición 9 vale 41 (a₉ = 41). Calcula la diferencia y el primer término.

Solución paso a paso:

• Paso 1: Aplicar el truco de la distancia. Para pasar del término 4 al término 9 tenemos que dar exactamente 5 pasos (9 - 4 = 5). Es decir, la diferencia se suma 5 veces:
  a₉ = a₄ + 5d
• Paso 2: Sustituir valores y despejar "d".
  41 = 16 + 5d → 41 - 16 = 5d → 25 = 5d → d = 5.
• Paso 3: Calcular el primer término. Usamos el valor de a₄ y "marchamos hacia atrás":
  a₄ = a₁ + 3d → 16 = a₁ + 3(5) → 16 = a₁ + 15 → a₁ = 1.

Respuesta: La diferencia de la progresión es 5 y su primer término es 1.

Ejercicio 4: Suma de los infinitos términos de una Progresión Geométrica

Enunciado: Calcula la suma de todos los infinitos términos de la siguiente progresión decreciente: 8, 4, 2, 1, 0.5...

Solución paso a paso:

• Paso 1: Analizar viabilidad. El primer término es a₁ = 8. La razón se calcula dividiendo: r = 4 / 8 = 0.5 (o la fracción 1/2). Como la razón está entre -1 y 1 (-1 < 0.5 < 1), los números se hacen cada vez más pequeños y **sí podemos sumar sus infinitos términos**.
• Paso 2: Aplicar la fórmula de la suma infinita. Usamos S_∞ = a₁ / (1 - r):
  S_∞ = 8 / (1 - 0.5)
• Paso 3: Resolver la operación.
  S_∞ = 8 / 0.5 = 16. (Recuerda que dividir entre 0.5 es lo mismo que multiplicar por 2).

Respuesta: Si sumáramos los infinitos números de esta lista de forma interminable, el resultado exacto se aproximaría a 16.

5. Problemas de la Vida Real con Progresiones

Las progresiones no son solo números en un papel; se utilizan a diario para calcular inversiones financieras, estudiar el crecimiento de poblaciones o planificar metas personales. Veamos cómo resolver dos problemas cotidianos:

Caso 1: El plan de ahorro en una hucha (P.A.)

Enunciado: María decide abrir una hucha para comprarse un ordenador. El primer mes introduce 20 €, y cada uno de los meses siguientes mete 5 € más que el mes anterior (es decir, el segundo mes mete 25 €, el tercero 30 €, etc.). ¿Cuánto dinero introducirá el mes número 24 y cuánto dinero total habrá ahorrado al cabo de esos dos años?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Identificar el tipo de progresión. Como cada mes añade una cantidad fija superior al mes anterior (+5 €), estamos ante una Progresión Aritmética.
  Sus datos son: el primer término a₁ = 20 y la diferencia d = 5. Queremos analizar el mes 24 (n = 24).
• Paso 2: Calcular el dinero del último mes (a₂₄). Usamos el término general:
  a₂₄ = a₁ + (n - 1) · d → a₂₄ = 20 + (24 - 1) · 5
  a₂₄ = 20 + 23 · 5 = 20 + 115 = 135 €.
• Paso 3: Calcular el dinero total acumulado (S₂₄). Usamos la fórmula de la suma de términos:
  S₂₄ = (a₁ + a₂₄) · n / 2 → S₂₄ = (20 + 135) · 24 / 2
  S₂₄ = 155 · 12 = 1860 €.

Respuesta: En el mes 24, María meterá exactamente 135 € en la hucha. El ahorro total acumulado tras los dos años será de 1860 €.

Caso 2: El crecimiento de un cultivo de bacterias (P.G.)

Enunciado: En un laboratorio se introduce una bacteria en un plato de cultivo. Se observa que esta especie se duplica (se divide en dos) exactamente cada hora. ¿Cuántas bacterias habrá en el plato al cabo de 12 horas?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Plantear la progresión. Al principio (hora 0) hay 1 bacteria. A la 1ª hora hay 2, a la 2ª hora hay 4, a la 3ª hora hay 8... Como los números se multiplican por 2 de forma constante, es una Progresión Geométrica.
  • a₁ representa el estado tras la primera hora: a₁ = 2 bacterias.
  • La razón (por cuánto multiplicamos) es r = 2.
  • Queremos saber la población en la hora 12, lo que equivale a buscar el término doce: n = 12.
• Paso 2: Aplicar la fórmula del término general. Usamos a_n = a₁ · r^{(n - 1)}:
  a₁₂ = 2 · 2^{(12 - 1)} → a₁₂ = 2 · 2¹¹
• Paso 3: Resolver la potencia.
  Por las propiedades de las potencias, 2¹ · 2¹¹ = 2¹².
  Calculamos el resultado final: 2¹² = 4096.

Respuesta: Al cabo de 12 horas, el cultivo de laboratorio contendrá un total de 4096 bacterias.

Caso 3: El enigma biológico de las cigarras periódicas (Sucesiones y Primes)

Enunciado: En los bosques de Norteamérica habita una especie de cigarra muy especial que pasa exactamente 13 años bajo tierra antes de emerger masivamente para reproducirse. Una gran plaga de estas cigarras ha aparecido en el año 2024. Por desgracia, en el mismo bosque vive un pájaro depredador cuyo pico de población máxima se repite en una sucesión aritmética cada 4 años, habiendo tenido su último pico en el año 2022.

¿Cuáles serán los próximos 3 años en los que emergerán las cigarras? ¿Coincidirá la emergencia de las cigarras con el pico de población del pájaro depredador en alguna de esas 3 ocasiones?

Solución paso a paso:

• Paso 1: Escribir la sucesión de las cigarras. Como emergen cada 13 años empezando en 2024, es una progresión aritmética con a₁ = 2024 y diferencia d = 13:
  • Año de la 1ª emergencia: 2024
  • Año de la 2ª emergencia: 2024 + 13 = 2037
  • Año de la 3ª emergencia: 2037 + 13 = 2050
  • Año de la 4ª emergencia: 2050 + 13 = 2063
• Paso 2: Escribir la sucesión del pájaro depredador. Su población tiene picos cada 4 años empezando en 2022. Es una progresión aritmética con b₁ = 2022 y diferencia d = 4. Vamos a calcular sus años clave para ver si cazan a las cigarras:
  • Años de picos: 2022, 2026, 2030, 2034, 2038, 2042, 2046, 2050, 2054, 2058, 2062...
• Paso 3: Buscar coincidencias. Comparamos los años de las cigarras (2037, 2050, 2063) con la lista del depredador:
  • En 2037 las cigarras salen, pero el pájaro tuvo su pico en 2034 y el próximo será en 2038. ¡Se salvan!
  • En 2050, tanto la sucesión de las cigarras como la del pájaro coinciden exactamente en el mismo año.

Respuesta: Los tres próximos años de emergencia de las cigarras serán 2037, 2050 y 2063. Las cigarras sí coincidirán con el pico máximo de su depredador en el año 2050 (gracias a que el 13 es un número primo, han logrado esquivar al enemigo durante décadas, ya que solo coinciden cada 13 · 4 = 52 años).

Saber más: https://blogdeletstalk.blogspot.com/2016/12/sequences-and-series.html