Las ecuaciones de la recta

Resumen: Ecuaciones de la Recta (4º ESO)

Para construir cualquier recta en el plano necesitas un punto conocido P(x₁, y₁) y un vector director v = (v₁, v₂). La pendiente se calcula como m = v₂ / v₁.

• 1. Ecuación Vectorial:
  Expresa la recta a partir del punto y el vector multiplicado por un parámetro t.
  
  (x, y) = (x₁, y₁) + t · (v₁, v₂)
• 2. Ecuaciones Paramétricas:
  Separa las coordenadas x e y de la ecuación vectorial.
  
  x = x₁ + t · v₁
  y = y₁ + t · v₂
• 3. Ecuación Continua:
  Despeja e iguala el parámetro t de las paramétricas.
  
  (x - x₁) / v₁ = (y - y₁) / v₂
• 4. Ecuación Punto-Pendiente:
  La forma más rápida si conoces un punto y la pendiente m.
  
  y - y₁ = m · (x - x₁)
• 5. Ecuación Explícita:
  Se obtiene al despejar la y. Muestra la pendiente (m) y la ordenada en el origen (n).
  
  y = m·x + n
• 6. Ecuación General o Implícita:
  Se pasa todo a un lado del igual. El vector director se obtiene como v = (-B, A).
  
  A·x + B·y + C = 0

Ejemplo Práctico: Calcular todas las ecuaciones de la recta

Vamos a hallar todas las formas de la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, 3) y tiene como vector director u = (4, 1).

Datos iniciales:
• Punto: x₁ = 2, y₁ = 3
• Vector: u₁ = 4, u₂ = 1
• Pendiente (m = u₂ / u₁): m = 1/4 (o 0.25)

• 1. Ecuación Vectorial
  Sustituimos directamente el punto y el vector en la fórmula general:
  
  (x, y) = (2, 3) + t · (4, 1)
• 2. Ecuaciones Paramétricas
  Separamos la coordenada x y la coordenada y:
  
  x = 2 + 4t
  y = 3 + 1t
• 3. Ecuación Continua
  Restamos las coordenadas del punto arriba y ponemos las del vector abajo:
  
  (x - 2) / 4 = (y - 3) / 1
• 4. Ecuación Punto-Pendiente
  Usamos el punto (2, 3) y la pendiente m = 1/4:
  
  y - 3 = 1/4 · (x - 2)
• 5. Ecuación General o Implícita
  Multiplicamos en cruz desde la continua: 1 · (x - 2) = 4 · (y - 3) → x - 2 = 4y - 12. Pasamos todo a la izquierda:
  
  x - 4y + 10 = 0
• 6. Ecuación Explícita
  Despejamos la y de la ecuación general: 4y = x + 10 → dividimos todo entre 4:
  
  y = 1/4·x + 5/2
  (Donde la pendiente es 1/4 y corta al eje Y en el punto 2.5)

📌 INFOGRAFÍA: Guía Visual de las Ecuaciones de la Recta

Todas las formas de expresar una línea recta en el plano (2º, 3º y 4º de la ESO).

📐 1. Los Dos Elementos Clave

Para definir cualquier recta necesitas conocer, al menos, un punto P(x₀, y₀) y su dirección:
• Pendiente (m): Es la inclinación de la recta. Indica cuánto cambia la "y" por cada unidad que avanza la "x".
• Ordenada en el origen (n): Es el punto de corte exacto con el eje Y, es decir, el punto (0, n).

▶ ECUACIÓN EXPLÍCITA

🌟 La más usada en la ESO

Ideal cuando conoces la pendiente de forma directa y sabes dónde corta la recta al eje vertical.

y = m·x + n

• m = Pendiente
• n = Ordenada en el origen

◀ ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

⚡ Perfecta si te dan un punto cualquiera

Utilízala de inmediato si el problema te facilita la pendiente y un punto cualquiera por donde pasa.

y - y₀ = m·(x - x₀)

• (x₀, y₀) = Coordenadas del punto
• m = Pendiente

🏛️ 2. Ecuación General o Implícita

Consiste en pasar todos los términos a un lado del igual para dejar la ecuación igualada a cero:

A·x + B·y + C = 0

🚀 Truco de examen: Si te dan la ecuación general, puedes calcular la pendiente rápidamente usando la fórmula: m = -A / B

⚠️ CUIDADO CON LOS SIGNOS: Al sustituir un punto con coordenadas negativas en la Punto-Pendiente, el signo cambia. Ejemplo: si y₀ = -3, entonces (y - y₀) se convierte en (y + 3).

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