Perímetros, áreas y volúmenes

'¡Vaya rollo! ¡Cuánta fórmula!'- me decís.
Y yo os digo: ¡Qué interesante!

Sí, hay que recordar algunas fórmulas, porque son útiles y porque nos facilitan el cálculo, pero la parte emocionante de todo esto es su aplicación en infinitos casos de la vida real.

Si quieres fabricar un marco para un diploma, debes poder saber calcular su perímetro.

Para comprar moqueta, tienes que saber calcular cuánta superficie de suelo quieres cubrir.

Y para entender la factura del suministro del agua debes ser capaz de entender el volumen de agua que consumes.

Apuntes de Geometría

Perímetros, Áreas y Volúmenes

Fórmulas esenciales, unidades de medida y ejemplos prácticos

📏 1. Las Unidades de Medida 

El error más común en los exámenes es olvidar la unidad o confundir sus exponentes:

• Perímetro (1D): Mide longitudes. Se expresa en unidades lineales: cm, m, km.
• Área / Superficie (2D): Mide el espacio plano interior. Siempre al cuadrado: cm², m², km².
• Volumen / Capacidad (3D): Mide el espacio ocupado en tres dimensiones. Siempre al cubo: cm³, m³, litros (L).

🟢 2. Figuras Planas (Perímetros y Áreas)

El perímetro es la suma de todos los lados exteriores. El área es la superficie interna.

Guía de Figuras Planas

Perímetros y Áreas desglosados paso a paso

1. Cuadrado

Tiene sus 4 lados iguales.
Fórmulas: Perímetro = 4 · lado  |  Área = lado²

Ejemplo: Un cuadrado de lado = 5 cm.
• Perímetro = 4 · 5 = 20 cm
• Área = 5 · 5 = 25 cm²

2. Rectángulo

Lados iguales dos a dos.
Fórmulas: Perímetro = 2 · base + 2 · altura  |  Área = base · altura

Ejemplo: Un rectángulo de base = 6 m y altura = 4 m.
• Perímetro = (2 · 6) + (2 · 4) = 12 + 8 = 20 m
• Área = 6 · 4 = 24 m²

3. Trapecio

Tiene dos bases paralelas (Base mayor 'B' y Base menor 'b').
Fórmulas: Perímetro = Suma de sus 4 lados  |  Área = [(B + b) · altura] / 2

Ejemplo: Trapecio con B = 7 cm, b = 3 cm, altura = 4 cm y lados oblicuos de 4,5 cm.
• Perímetro = 7 + 3 + 4,5 + 4,5 = 19 cm
• Área = [(7 + 3) · 4] / 2 = (10 · 4) / 2 = 40 / 2 = 20 cm²

4. Rombo

Tiene 4 lados iguales y dos diagonales (Diagonal mayor 'D' y menor 'd').
Fórmulas: Perímetro = 4 · lado  |  Área = (D · d) / 2

Ejemplo: Un rombo de lado = 5 m, D = 8 m y d = 6 m.
• Perímetro = 4 · 5 = 20 m
• Área = (8 · 6) / 2 = 48 / 2 = 24 m²

5. Triángulo

Figura de 3 lados.
Fórmulas: Perímetro = lado1 + lado2 + lado3  |  Área = (base · altura) / 2

Ejemplo: Triángulo de lados 3, 4 y 5 cm (base = 4 cm, altura = 3 cm).
• Perímetro = 3 + 4 + 5 = 12 cm
• Área = (4 · 3) / 2 = 12 / 2 = 6 cm²

6. Círculo

El perímetro se denomina longitud de la circunferencia. (π ≈ 3,14).
Fórmulas: Perímetro = 2 · π · radio  |  Área = π · radio²

Ejemplo: Un círculo con radio = 3 cm.
• Perímetro = 2 · 3,14 · 3 = 18,84 cm
• Área = 3,14 · 3² = 3,14 · 9 = 28,26 cm²

7. Figura Irregular

No tienen una forma geométrica estándar. Su área se calcula mediante **descomposición** (dividiendo la figura en rectángulos o triángulos más pequeños conocidos).
Fórmulas: Perímetro = Suma de todos sus lados exteriores  |  Área = Suma de las áreas de sus partes

Ejemplo: Una figura con forma de "L" compuesta por dos rectángulos separados (Área A = 10 cm², Área B = 6 cm²) y cuyos lados exteriores suman 18 cm.
• Perímetro = Suma directa de sus bordes = 18 cm
• Área Total = Área A + Área B = 10 + 6 = 16 cm²

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🔷 3. Cuerpos Geométricos (Áreas y Volúmenes)

Tienen volumen porque ocupan espacio. El Área Total es la suma de todas sus caras exteriores desplegadas.

Guía de Cuerpos Geométricos

Áreas Totales y Volúmenes desglosados tridimensionalmente

1. Hexaedro Regular (Cubo)

Cuerpo con 6 caras cuadradas e idénticas.
Fórmulas: Área Total = 6 · arista²  |  Volumen = arista³

Ejemplo: Un dado de arista = 3 cm.
• Área Total = 6 · 3² = 6 · 9 = 54 cm²
• Volumen = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 cm³

2. Ortoedro (Prisma Rectangular)

Caja clásica con caras rectangulares (Dimensiones: a, b, c).
Fórmulas: Área Total = 2 · (a·b + a·c + b·c)  |  Volumen = a · b · c

Ejemplo: Una caja con largo (a) = 5 m, ancho (b) = 4 m y alto (c) = 3 m.
• Área Total = 2 · (5·4 + 5·3 + 4·3) = 2 · (20 + 15 + 12) = 2 · 47 = 94 m²
• Volumen = 5 · 4 · 3 = 60 m³

3. Pirámide Recta

Base poligonal y caras triangulares que coinciden en un vértice.
Fórmulas: Área Total = Área base + Área lateral  |  Volumen = (Área base · altura) / 3

Ejemplo: Pirámide de base cuadrada (Área base = 16 cm²), altura = 6 cm y caras laterales que suman 24 cm².
• Área Total = 16 + 24 = 40 cm²
• Volumen = (16 · 6) / 3 = 96 / 3 = 32 cm³

4. Cilindro

Dos bases circulares paralelas y una superficie lateral curva. (π ≈ 3,14).
Fórmulas: Área Total = 2·π·radio·altura + 2·π·radio²  |  Volumen = π · radio² · altura

Ejemplo: Un bote con radio = 2 cm y altura = 5 cm.
• Área Total = (2 · 3,14 · 2 · 5) + (2 · 3,14 · 2²) = 62,8 + 25,12 = 87,92 cm²
• Volumen = 3,14 · 2² · 5 = 3,14 · 4 · 5 = 62,8 cm³

5. Cono

Base circular unida a un vértice superior. Exige usar la generatriz 'g' (línea inclinada del lateral).
Fórmulas: Área Total = π·radio² + π·radio·generatriz  |  Volumen = (π · radio² · altura) / 3

Ejemplo: Un cono con radio = 3 m, altura = 4 m y generatriz = 5 m.
• Área Total = (3,14 · 3²) + (3,14 · 3 · 5) = 28,26 + 47,1 = 75,36 m²
• Volumen = (3,14 · 3² · 4) / 3 = 113,04 / 3 = 37,68 m³

6. Esfera

Cuerpo tridimensional perfectamente redondo y simétrico.
Fórmulas: Área Total = 4 · π · radio²  |  Volumen = (4 · π · radio³) / 3

Ejemplo: Un balón con un radio = 3 cm.
• Área Total = 4 · 3,14 · 3² = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm²
• Volumen = (4 · 3,14 · 3³) / 3 = (4 · 3,14 · 27) / 3 = 339,12 / 3 = 113,04 cm³

7. Cuerpo Irregular

Objetos tridimensionales asimétricos (como una piedra o un juguete compuesto).
Fórmulas: Área = Suma de la superficie exterior expuesta  |  Volumen = Calculado por Principio de Arquímedes (midiendo el volumen de agua desplazado al sumergir el cuerpo).

Ejemplo: Metes una piedra en una probeta llena con 150 ml de agua. El nivel del agua sube hasta marcar 185 ml tras sumergirla por completo.
• Volumen de la piedra = Nivel final - Nivel inicial = 185 ml - 150 ml = 35 ml (equivalente a 35 cm³)

Guía Didáctica de Apoyo Escolar | Let's Talk Matemáticas

Las matemáticas pueden ser muy útiles y divertidas

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