Powers - Potencias

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. 

El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 2³, la base es 2 y el exponente es 3.

En la potencia 3², la base es 3 y el exponente es 2.

Para operar con potencias, debemos tener en cuenta las siguientes reglas:

Propiedades de las Potencias

🟢 Operaciones con la Misma Base

Básicas

• Producto (Multiplicación): Se mantiene la base y se **suman** los exponentes.
  Fórmula: aⁿ · a^m = a^n+m → (2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷)
• Cociente (División): Se mantiene la base y se **restan** los exponentes.
  Fórmula: aⁿ / a^m = a^n-m → (5⁶ / 5² = 5^6-2 = 5⁴)
• Potencia de una Potencia: Se mantiene la base y se **multiplican** los exponentes.
  Fórmula: (aⁿ)^m = a^{n · m} → [(3²)⁴ = 3^2·4 = 3⁸]

🔵 Operaciones con el Mismo Exponente

Distinta base

• Producto (Multiplicación): Se multiplican las bases y se **mantiene** el exponente.
  Fórmula: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ → (2³ · 5³ = 10³)
• Cociente (División): Se dividen las bases y se **mantiene** el exponente.
  Fórmula: aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ → (6⁴ / 3⁴ = 2⁴)

⚠️ Casos Especiales de Examen

¡Mucha atención!

• Exponente Cero (0): Cualquier base (distinta de cero) elevada a 0 siempre es igual a 1.
  Fórmula: a⁰ = 1 → (9.452⁰ = 1)
• Exponente Uno (1): Cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo.
  Fórmula: a¹ = a → (7¹ = 7)
• 🔥 Exponente Negativo (La regla de la astilla):
  Un exponente negativo indica que la potencia está "incómoda". Para solucionarlo y pasar el exponente a positivo, **le damos la vuelta a la base** (se convierte en fracción).
  Fórmula: a^-n = 1 / aⁿ → (3^-2 = 1 / 3² = 1/9)

Ficha de Repaso de Álgebra | Let's Talk Apoyo Escolar

http://selectividad.intergranada.com/ESO/Material/potencias_raices.pdf

🏋️ Práctica de Potencias

Ejercicios del 1 al 10. ¡Simplifica y comprueba tu desarrollo paso a paso!

1. Expresa como una sola potencia: 3⁵ · 3²

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Misma base multiplicando → Se mantiene la base y se suman los exponentes:
3⁵⁺² = 3⁷

2. Expresa como una sola potencia: 5⁸ / 5³

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Misma base dividiendo → Se mantiene la base y se restan los exponentes:
5^8-3 = 5⁵

3. Resuelve aplicando propiedades: (2⁴)³

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Potencia de una potencia → Se mantiene la base y se multiplican los exponentes:
2^{4 · 3} = 2¹²

4. ¿A qué es igual la siguiente potencia? 9.999⁰

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Caso especial de exponente cero → Cualquier base distinta de 0 elevada a la cero es igual a 1:
1

5. Simplifica la expresión: 7² · 7 · 7³

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⚠️ ¡Cuidado con el término del medio! Su exponente invisible es 1 (7 = 7¹).
Sumamos todos los exponentes: 7²⁺¹⁺³ = 7⁶

6. Resuelve paso a paso: (4² · 4⁵) / 4⁴

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1º Operamos arriba (producto): 4²⁺⁵ = 4⁷
2º Dividimos (cociente): 4⁷ / 4⁴ = 4^7-4 = 4³

7. Simplifica usando propiedades: (a³)⁵ · a²

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1º Potencia de potencia: a^3·5 = a¹⁵
2º Multiplicamos sumando exponentes: a¹⁵⁺² = a¹⁷

8. Reduce a una única potencia: (x⁹ / x⁶)²

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1º Paréntesis primero (resta): x^9-6 = x³
2º Elevamos multiplicando: (x³)² = x^3·2 = x⁶

9. Calcula usando combinaciones: (3²)⁰ · 3⁴

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Cualquier potencia elevada a 0 se transforma en 1 → (3²)⁰ = 1.
Operación: 1 · 3⁴ = 3⁴

10. Reduce al máximo: m¹² / (m⁴ · m⁵)

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1º Sumamos en el denominador: m⁴⁺⁵ = m⁹
2º Dividimos restando exponentes: m¹² / m⁹ = m^12-9 = m³

🏋️ Ejercicios del 11 al 20. ¡Domina los casos avanzados!

11. Agrupa usando el mismo exponente: 2⁴ · 5⁴

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Mismo exponente, distinta base → Multiplicamos las bases manteniendo el exponente intacto:
(2 × 5)⁴ = 10⁴

12. Agrupa en una sola potencia: 12³ / 4³

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Mismo exponente, distinta base → Dividimos las bases manteniendo el exponente fijo:
(12 / 4)³ = 3³

13. Transforma a exponente positivo: 4^-3

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Morfología del exponente negativo → Se invierte la base convirtiéndola en fracción con exponente positivo:
1 / 4³ (equivalente a 1/64)

14. Expresa con exponente positivo: (2/5)^-2

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Fracción con exponente negativo → Le damos la vuelta por completo a la fracción para cambiar el signo del exponente:
(5/2)²

15. Reduce aplicando la resta de negativos: 2⁵ / 2^-3

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🧠 ¡Aplica la analogía vital! Al dividir restamos: 5 − (−3). Quitar algo negativo, suma:
5 − (−3) = 5 + 3 = 8 → 2⁸

16. Resuelve la trampa de bases factorizables: 2³ · 4²

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❌ ¡No sumes los exponentes directamente porque las bases son distintas (2 y 4)!
1º Factorizamos el 4: 4 = 2² → Queda: 2³ · (2²)²
2º Potencia de potencia: 2³ · 2⁴
3º Sumamos exponentes: 2³⁺⁴ = 2⁷

17. Simplifica mezclando exponentes negativos: x^-4 · x⁶

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Misma base multiplicando → Sumamos los exponentes algebraicamente:
−4 + 6 = 2 → x²

18. Reduce a una sola potencia: (3⁴)^-2

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Potencia de potencia → Multiplicamos respetando la regla de signos (positivo × negativo = negativo):
4 × (−2) = −8 → 3^-8 = 1 / 3⁸

19. Resuelve combinando exponentes: (2^-3 · 2⁵)^-2

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1º Paréntesis primero (suma): 2^-3+5 = 2²
2º Potencia exterior (multiplicación): (2²)^-2 = 2^2·(-2) = 2^-4 = 1 / 2⁴

20. La gran trampa de exámenes: ¿Se puede reducir 2³ + 2²?

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🛑 ¡Freno de mano! No inventes propiedades:
Las potencias tienen propiedades para el producto (·) y el cociente (/), pero NO para la suma (+) ni la resta (-).

No se pueden sumar ni mantener los exponentes en este caso. La única forma de resolverlo es calcular el valor de cada potencia por separado y luego sumarlos:
2³ + 2² = 8 + 4 = 12

Ficha de Ejercicios Prácticos | Let's Talk Apoyo Escolar

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