Circunferencias concéntricas

Teoría: La Circunferencia

Conceptos básicos, ecuaciones y propiedades

⭕ ¿Qué es una circunferencia?

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia (llamada radio, R) de un punto fijo interior (llamado centro, C).

Haz clic en cada sección para desplegar las fórmulas y propiedades:

📐 1. La Ecuación Ordinaria o Canónica ▼

Si conocemos el centro C(a, b) y el radio R, podemos escribir su ecuación basándonos de forma directa en el Teorema de Pitágoras:

(x - a)² + (y - b)² = R²

⚠️ ¡Atención! Al introducir las coordenadas del centro en los paréntesis, sus signos cambian debido al signo menos (-) de la fórmula.

📊 2. La Ecuación General ▼

Al desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria y pasar todo al lado izquierdo, obtenemos la expresión general:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Donde los coeficientes se relacionan con el centro de la siguiente manera:

• a = D / -2 (Coordenada X del centro)
• b = E / -2 (Coordenada Y del centro)
• F = a² + b² - R² (Término independiente)

💡 3. Propiedad de las Circunferencias Concéntricas ▼

La palabra concéntrica significa que tienen el mismo centro pero diferente radio (distinto tamaño).

Efecto matemático: Al compartir el centro, los coeficientes D y E de la ecuación general son exactamente iguales. Dos circunferencias concéntricas solo se diferencian en el valor numérico final (F).

📌 Truco Práctico de Examen:

Si te dan una ecuación general y te piden una concéntrica, copia directamente los términos x² + y² + Dx + Ey. Tu único objetivo será calcular la nueva F usando el punto que te den de dato.

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Enunciado del problema:

"Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia cuya ecuación es x² + y² + 6x + 8y + 4 = 0 y que pasa por el punto (3, -6)."

💡 Concepto clave: Dos circunferencias son concéntricas si comparten exactamente el mismo centro (C), pero tienen radios diferentes. Como comparten el centro, los coeficientes de x e y serán idénticos. La ecuación buscada será de la forma: x² + y² + 6x + 8y + F = 0.

Paso 1: Encontrar el centro de la circunferencia (C)

Dada la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, identificamos que D = 6 y E = 8.
Las coordenadas del centro C(a, b) se calculan dividiendo los coeficientes entre -2:

a = -D / 2 = -6 / 2 = -3
b = -E / 2 = -8 / 2 = -4
Centro común: C(-3, -4)

Paso 2: Calcular el nuevo radio al cuadrado (R²)

El radio es la distancia entre el centro C(-3, -4) y el punto P(3, -6) por el que pasa la nueva circunferencia. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

R = √[ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ]
R = √[ (3 - (-3))² + (-6 - (-4))² ]
R = √[ (3 + 3)² + (-6 + 4)² ]
R = √[ 6² + (-2)² ] = √[ 36 + 4 ] = √40
R² = 40

Paso 3: Obtener la ecuación general

Sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria de la circunferencia (x - a)² + (y - b)² = R²:

(x - (-3))² + (y - (-4))² = 40
(x + 3)² + (y + 4)² = 40

Desarrollamos las identidades notables:
(x² + 6x + 9) + (y² + 8y + 16) = 40
x² + y² + 6x + 8y + 25 - 40 = 0

🚀 Ecuación de la Circunferencia Concéntrica:

x² + y² + 6x + 8y - 15 = 0

 Concéntrica dado el Radio

"Hallar la ecuación general de la circunferencia concéntrica a x² + y² - 4x + 10y + 2 = 0 sabiendo que su radio mide 6 unidades."

🔍 Ver resolución paso a paso ▼

Paso 1: Identificar el centro común (C)

De la ecuación original obtenemos D = -4 y E = 10. Dividimos entre -2 para hallar el centro:

a = -4 / -2 = 2
b = 10 / -2 = -5 ➔ Centro C(2, -5)

Paso 2: Aplicar el nuevo radio

El enunciado indica que el nuevo radio es R = 6, por lo que R² = 36.

Paso 3: Desarrollar la ecuación ordinaria

Sustituyendo el centro C(2, -5) en (x - a)² + (y - b)² = R²:

(x - 2)² + (y - (-5))² = 36
(x - 2)² + (y + 5)² = 36

Desarrollamos los productos notables:
(x² - 4x + 4) + (y² + 10y + 25) = 36
x² + y² - 4x + 10y + 29 - 36 = 0

Ecuación final: x² + y² - 4x + 10y - 7 = 0

 Concéntrica Tangente a una Recta

"Hallar la ecuación general de la circunferencia concéntrica a (x - 1)² + (y - 3)² = 4 que es tangente a la recta de ecuación 3x - 4y - 6 = 0."

🔍 Ver resolución paso a paso ▼

Paso 1: Identificar el centro común (C)

Al estar dada en forma ordinaria, leemos directamente el centro cambiando el signo de los números dentro de los paréntesis:

Centro común: C(1, 3)

Paso 2: Calcular el nuevo radio (R)

Al ser tangente a la recta, el radio es igual a la distancia desde el centro C(1, 3) hasta la recta 3x - 4y - 6 = 0. Usamos la fórmula de distancia punto-recta:

R = |A·x₀ + B·y₀ + C| / √(A² + B²)
R = |3·(1) - 4·(3) - 6| / √(3² + (-4)²)
R = |3 - 12 - 6| / √(9 + 16)
R = |-15| / √25 = 15 / 5 = 3 ➔ R² = 9

Paso 3: Escribir la ecuación general

Planteamos la ecuación ordinaria con el centro C(1, 3) y R² = 9:

(x - 1)² + (y - 3)² = 9

Desarrollamos los binomios:
x² - 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 9
x² + y² - 2x - 6y + 10 - 9 = 0

Ecuación final: x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0

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Ejercicios Resueltos de Matemáticas