Los intervalos

Noviembre ya está aquí y, con él, llegan los primeros exámenes importantes del curso. Seguro que uno de los temas estrella de tu prueba de matemáticas son los intervalos en la recta real.

 Un intervalo es un subconjunto de la recta real que incluye todos los números comprendidos entre dos extremos. Para dominarlos, debes saber pasar de una forma a otra (intervalo, desigualdad y gráfica) y operar con ellos.

Un intervalo no es más que un "trozo" de la recta numérica que contiene todos los números reales comprendidos entre dos extremos. El secreto para sacar un 10 en este tema es dominar las tres formas distintas en las que te los van a pedir en el examen:

1. Notación de intervalo (usando paréntesis o corchetes).
2. Definición matemática (usando {x ∈ ℜ / ...} y desigualdades).
3. Representación gráfica (dibujándolos sobre la recta real).

A continuación, repasamos todos los tipos con ejemplos claros para que no falles ni uno.

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1. Intervalo abierto

Es aquel que no incluye los números de los extremos. Se representa con paréntesis ( ) y, al dibujarlo, los puntos de los extremos se dejan huecos (sin rellenar).

Ejemplo: Queremos representar los números entre el 2 y el 5, sin contar ni el 2 ni el 5.

• Con paréntesis/corchetes: (2, 5)
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / 2 < x < 5}
• Representación gráfica:

  ◀──────○═══════════○──────▶
         2           5

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2. Intervalo cerrado

A diferencia del anterior, este sí incluye los dos extremos. Se escribe con corchetes [ ] y sus extremos se dibujan con puntos rellenos.

Ejemplo: Todos los números desde el -1 hasta el 4, incluyendo ambos.

• Con paréntesis/corchetes: [-1, 4]
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / -1 ≤ x ≤ 4}
• Representación gráfica:

  ◀──────●═══════════●──────▶
        -1           4

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3. Intervalo semiabierto (o semicerrado)

Es una mezcla de los dos anteriores: incluye uno de los extremos (corchete y punto relleno) y deja fuera el otro (paréntesis y punto hueco).

Ejemplo A (abierto por la izquierda, cerrado por la derecha): Números mayores que -3 y menores o iguales que 2.

• Con paréntesis/corchetes: (-3, 2]
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / -3 < x ≤ 2}
• Representación gráfica:

  ◀──────○═══════════●──────▶
        -3           2

Ejemplo B (cerrado por la izquierda, abierto por la derecha): Números mayores o iguales que 0 y menores que 6.

• Con paréntesis/corchetes: [0, 6)
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / 0 ≤ x < 6}
• Representación gráfica:

  ◀──────●═══════════○──────▶
         0           6

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4. Semirrectas (intervalos infinitos)

Ocurren cuando el intervalo no tiene fin por uno de sus lados y se extiende hasta el infinito (+∞) o el menos infinito (-∞). Regla de oro: el infinito siempre lleva paréntesis.

Ejemplo A (hacia menos infinito): Todos los números menores o iguales que 3.

• Con paréntesis/corchetes: (-∞, 3]
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / x ≤ 3}
• Representación gráfica:

  ◀══════════════●──────────▶
                 3

Ejemplo B (hacia más infinito): Todos los números mayores que -2 (sin incluirlo).

• Con paréntesis/corchetes: (-2, +∞)
• Definición matemática: {x ∈ ℜ / x > -2}
• Representación gráfica:

  ◀──────────○══════════════▶
            -2

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Unión (∪) e Intersección (∩)

Si te piden operar con dos intervalos, por ejemplo A = [-2, 4) y B = (1, 6], dibújalos uno encima del otro en la misma recta:

• Unión (A ∪ B): Es juntarlo todo. Va desde el extremo más a la izquierda hasta el más a la derecha. Resultado: [-2, 6].
• Intersección (A ∩ B): Es solo la zona donde se "pisan" o coinciden ambos intervalos. Resultado: (1, 4).

Para operar con intervalos sin equivocarte, el mejor método es dibujarlos uno debajo del otro alineando los números en la misma recta real.

Caso 1: Dos intervalos que se cruzan (solapamiento parcial)

Dados los intervalos A = [-2, 4) y B = (1, 6], vamos a calcular su unión y su intersección:

Intervalo A:  ◀────●═══════════○─────────▶
                  -2           4

Intervalo B:  ◀─────────○═══════════●────▶
                        1           6

• Unión (A ∪ B): Juntamos todo lo pintado desde el extremo más a la izquierda (-2, incluido) hasta el más a la derecha (6, incluido).
  → Con paréntesis/corchetes: [-2, 6]
  → Definición matemática: {x ∈ ℜ / -2 ≤ x ≤ 6}
• Intersección (A ∩ B): Tomamos solo el tramo donde coinciden los dos dibujos (entre el 1 y el 4). Como el 1 está abierto en B y el 4 está abierto en A, ninguno entra.
  → Con paréntesis/corchetes: (1, 4)
  → Definición matemática: {x ∈ ℜ / 1 < x < 4}

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Caso 2: Un intervalo dentro de otro (con infinito)

Dados los intervalos C = (-∞, 5] y D = (-1, 3):

Intervalo C:  ◀════════════════════●─────▶
                                   5

Intervalo D:  ◀───────○═══════○──────────▶
                     -1       3

• Unión (C ∪ D): Como el intervalo D está completamente dentro de C, al juntarlos nos quedamos con el grande.
  → Con paréntesis/corchetes: (-∞, 5]
  → Definición matemática: {x ∈ ℜ / x ≤ 5}
• Intersección (C ∩ D): La zona donde ambos se pisan coincide exactamente con el intervalo pequeño.
  → Con paréntesis/corchetes: (-1, 3)
  → Definición matemática: {x ∈ ℜ / -1 < x < 3}

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Caso 3: Intervalos separados (no se cruzan)

Dados los intervalos E = (-∞, 0) y F = [2, +∞):

Intervalo E:  ◀════════○─────────────────▶
                       0

Intervalo F:  ◀───────────────●══════════▶
                              2

• Unión (E ∪ F): Como hay un hueco vacío en medio (del 0 al 2), no se pueden juntar en un solo intervalo. Se deja indicado con el símbolo de unión.
  → Con paréntesis/corchetes: (-∞, 0) ∪ [2, +∞)
  → Definición matemática: {x ∈ ℜ / x < 0 ó x ≥ 2}
• Intersección (E ∩ F): Como no tienen ningún número en común, el resultado es el conjunto vacío.
  → Símbolo matemático: ∅

¡Mucho ánimo con el repaso de este trimestre! Si tienes alguna duda con un ejercicio concreto, déjala en los comentarios. Hablemos · Let's Talk