Esta semana vamos a estudiar la cinem谩tica, que es la rama de la ciencia que se encarga de estudiar y describir el movimiento de los cuerpos sin preocuparse por las causas que lo producen (eso lo estudia la din谩mica).
Conceptos clave antes de empezar:
- Posici贸n (s o x): El lugar exacto donde se encuentra el objeto en un momento dado.
- Trayectoria: La l铆nea invisible que dibuja el objeto al moverse (puede ser recta o curva).
- Espacio recorrido (d): La distancia total que mide la trayectoria.
- Desplazamiento (螖x): La l铆nea recta que une el punto de salida con el punto de llegada. ¡No siempre coincide con el espacio recorrido!
1. El Movimiento Rectil铆neo Uniforme (M.R.U.)
Es el movimiento m谩s sencillo de todos. Ocurre cuando un objeto va en l铆nea recta y su velocidad es constante (no cambia, nunca frena ni acelera).
La f贸rmula m谩gica del MRU relaciona la velocidad (v), el espacio (d o x) y el tiempo (t):
v = d / t
Enunciado: Un coche viaja por una autopista recta a una velocidad constante de 90 km/h durante un tiempo de 2 horas. ¿Qu茅 distancia ha recorrido?
Soluci贸n paso a paso:
- Apuntamos los datos conocidos: v = 90 km/h y t = 2 h.
- Despejamos la distancia de la f贸rmula original: d = v · t.
- Sustituimos los valores: d = 90 · 2 = 180 km.
Respuesta: El coche ha recorrido una distancia total de 180 kil贸metros.
2. El Movimiento Rectil铆neo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)
En este movimiento la velocidad ya no es constante. El objeto va en l铆nea recta pero su velocidad cambia de forma fija porque existe una aceleraci贸n (a).
| Magnitud |
F贸rmula del MRUA |
¿Qu茅 significa cada letra? |
| Aceleraci贸n |
a = (vf - v0) / t |
vf: velocidad final
v0: velocidad inicial |
| Velocidad Final |
vf = v0 + a · t |
a: aceleraci贸n
t: tiempo transcurrido |
| Posici贸n / Distancia |
d = v0·t + ½·a·t2 |
Mide los metros totales avanzados. |
Enunciado: Una moto est谩 parada en un sem谩foro (v0 = 0) y arranca con una aceleraci贸n constante de 2 m/s2. ¿Qu茅 velocidad tendr谩 al cabo de 5 segundos?
Soluci贸n paso a paso:
- Apuntamos datos: v0 = 0 m/s, a = 2 m/s2, t = 5 s.
- Elegimos la f贸rmula de la velocidad final: vf = v0 + a · t.
- Sustituimos los n煤meros: vf = 0 + 2 · 5 = 10 m/s.
Respuesta: Al cabo de 5 segundos, la moto alcanzar谩 una velocidad de 10 m/s (que equivalen a 36 km/h).
3. Cambio de unidades: El factor de conversi贸n estrella
En f铆sica de la ESO es obligatorio trabajar en las unidades del Sistema Internacional: la distancia en metros (m), el tiempo en segundos (s) y la velocidad en metros por segundo (m/s). El cambio m谩s repetido en los ex谩menes se resuelve con este truco directo:
- Para pasar de km/h a m/s → Divide el valor entre 3.6
- Para pasar de m/s a km/h → Multiplica el valor por 3.6
4. Casos Especiales de MRUA: Ca铆da Libre y Lanzamiento Vertical
¿Qu茅 pasa si en lugar de movernos en horizontal por el suelo dejamos caer un objeto o lo lanzamos hacia arriba? Estamos ante movimientos verticales regidos exactamente por las mismas normas del MRUA, pero con una gran ventaja: ¡la aceleraci贸n ya la conocemos y es siempre la gravedad (g)!
El valor de la gravedad: En la Tierra, la aceleraci贸n de la gravedad es de g ≈ 9,8 m/s2 (a nivel escolar, a veces los profesores permiten redondear a 10 m/s2 para que los c谩lculos sean m谩s limpios).
A) Ca铆da Libre (Dejar caer un objeto)
Ocurre cuando dejas caer un cuerpo desde una altura determinada sin empujarlo. Como se deja caer, su velocidad inicial siempre es cero (v0 = 0). A medida que baja, la gravedad lo atrae haciendo que aumente su velocidad.
F贸rmulas simplificadas: Velocidad final: vf = g · t | Altura: h = ½ · g · t2
Enunciado: Se deja caer una piedra desde lo alto de un puente y tarda 3 segundos en chocar contra el agua. ¿Desde qu茅 altura se cay贸? (Usa g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Datos conocidos: v0 = 0 m/s, t = 3 s, g = 9,8 m/s2.
- Elegimos la f贸rmula de la altura recorriendo el eje vertical: h = ½ · g · t2.
- Sustituimos y resolvemos (¡recuerda hacer el cuadrado del tiempo primero!):
h = 0,5 · 9,8 · 32 → h = 4,9 · 9 = 44,1 metros.
Respuesta: La piedra cay贸 desde una altura total de 44,1 metros.
B) Lanzamiento Vertical (Hacia arriba)
Ocurre cuando lanzas un objeto hacia el cielo. En este caso es obligatorio darle una velocidad inicial (v0) para que pueda vencer a la gravedad. Al subir, la gravedad frena el objeto, por lo que **la aceleraci贸n se pone con signo negativo (-g)** en las f贸rmulas.
El objeto subir谩 hasta que su velocidad se agote por completo. En el punto m谩s alto, **su velocidad final es cero (vf = 0)** y ah铆 empezar谩 a caer.
Enunciado: Lanzamos verticalmente hacia arriba un bal贸n con una velocidad de 19,6 m/s. ¿Cu谩nto tiempo tardar谩 en alcanzar su altura m谩xima y detenerse en el aire?
Soluci贸n paso a paso:
- Datos: v0 = 19,6 m/s. En la altura m谩xima, sabemos que vf = 0 m/s. Como va hacia arriba, la gravedad frena: a = -9,8 m/s2.
- Usamos la f贸rmula de la velocidad: vf = v0 - g · t.
- Sustituimos y despejamos el tiempo:
0 = 19,6 - 9,8 · t → 9,8 · t = 19,6 → t = 19,6 / 9,8 = 2 segundos.
Respuesta: El bal贸n tardar谩 exactamente 2 segundos en subir hasta lo m谩s alto antes de empezar a descender.
4. Movimientos Circulares: M.C.U. y M.C.A.
No todos los movimientos en la naturaleza ocurren en l铆nea recta. Cuando un objeto gira alrededor de un punto central fijo dibujando una circunferencia, estamos ante un movimiento circular. En la ESO se estudian dos variantes b谩sicas:
Las nuevas variables del giro: Al girar ya no medimos solo los metros en l铆nea recta, sino los 谩ngulos que barremos:
- Posici贸n angular (蠁 o 胃): El 谩ngulo recorrido. Su unidad en el Sistema Internacional es el radi谩n (rad), no los grados. (Recuerda: una vuelta completa son 360° o 2蟺 radianes).
- Velocidad angular (蠅): La rapidez con la que gira el objeto. Se mide en rad/s (radianes por segundo).
A) Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)
Ocurre cuando el objeto gira describiendo una circunferencia a una velocidad angular constante (da siempre las mismas vueltas por minuto, como las agujas de un reloj o un viejo disco de vinilo).
F贸rmula principal: 蠅 = 螖蠁 / t (Velocidad angular = 脕ngulo recorrido / tiempo).
En el M.C.U. aparecen dos conceptos fijos de examen:
- Per铆odo (T): El tiempo exacto (en segundos) que tarda el objeto en dar una vuelta completa.
- Frecuencia (f): El n煤mero de vueltas completas que da el objeto en un solo segundo. Su unidad es el Hercio (Hz).
Enunciado: Las aspas de un ventilador giran con una velocidad constante completando una vuelta cada 0,5 segundos. ¿Cu谩l es su per铆odo, su frecuencia y su velocidad angular en rad/s?
Soluci贸n paso a paso:
- Per铆odo (T): Por definici贸n, el tiempo de una vuelta es el per铆odo. Por tanto, T = 0,5 s.
- Frecuencia (f): Es la inversa del per铆odo: f = 1 / T → f = 1 / 0,5 = 2 Hz (da dos vueltas por segundo).
- Velocidad angular (蠅): Sabemos que una vuelta completa equivale a un 谩ngulo de 2蟺 rad. Aplicamos la f贸rmula:
蠅 = 2蟺 / T → 蠅 = 2蟺 / 0,5 = 4蟺 rad/s (aproximadamente 12,57 rad/s).
Respuesta: El per铆odo es de 0,5 s, la frecuencia es de 2 Hz y gira a una velocidad angular de 4蟺 rad/s.
B) Movimiento Circular Acelerado (M.C.A. o M.C.U.A.)
Ocurre cuando el objeto gira en c铆rculos pero su velocidad de giro **cambia de forma uniforme**, ya sea porque empieza a girar m谩s r谩pido (acelera) o porque va frenando hasta detenerse. En este caso aparece la aceleraci贸n angular (伪), que mide el cambio de velocidad angular en el tiempo y se expresa en rad/s2.
| Magnitud Lineal (MRUA) |
Magnitud Angular equivalente (MCA) |
F贸rmula del M.C.A. |
| Aceleraci贸n (a) |
Aceleraci贸n angular (伪) |
伪 = (蠅f - 蠅0) / t |
| Velocidad final (vf) |
Velocidad angular final (蠅f) |
蠅f = 蠅0 + 伪 · t |
| 脕ngulo / Posici贸n (d) |
脕ngulo recorrido (蠁) |
蠁 = 蠅0·t + ½·伪·t2 |
Enunciado: Un motor el茅ctrico que estaba girando a una velocidad de 10 rad/s se desconecta, tardando 5 segundos en detenerse por completo. ¿Cu谩l ha sido su aceleraci贸n angular?
Soluci贸n paso a paso:
- Extraemos los datos: velocidad angular inicial 蠅0 = 10 rad/s, tiempo t = 5 s. Como se detiene, la velocidad angular final es 蠅f = 0 rad/s.
- Elegimos la f贸rmula de la aceleraci贸n angular: 伪 = (蠅f - 蠅0) / t.
- Sustituimos los valores en la ecuaci贸n:
伪 = (0 - 10) / 5 → 伪 = -10 / 5 = -2 rad/s2.
Respuesta: El motor frena con una aceleraci贸n angular de -2 rad/s2 (el signo negativo nos confirma que el objeto est谩 perdiendo velocidad).
5. El Movimiento Pendular
El movimiento pendular ocurre cuando una masa suspendida de un hilo r铆gido e inextensible oscila de un lado a otro a partir de una posici贸n de equilibrio, debido a la acci贸n de la gravedad. Es el movimiento t铆pico del p茅ndulo de un reloj de pared, de un columpio o de un metr贸nomo.
Conceptos clave del p茅ndulo:
- Oscilaci贸n completa: El trayecto de ida y vuelta que hace la masa desde que sale de un extremo hasta que regresa a ese mismo extremo.
- Amplitud (A): El 谩ngulo o distancia m谩xima que se aleja el p茅ndulo de su posici贸n central de equilibrio.
- Per铆odo (T): El tiempo exacto (en segundos) que tarda el p茅ndulo en realizar una oscilaci贸n completa.
La Ley del P茅ndulo (F贸rmula del Per铆odo)
El cient铆fico Galileo Galilei descubri贸 algo asombroso: el tiempo que tarda un p茅ndulo en dar una oscilaci贸n no depende de la masa que cuelgue del hilo, ni tampoco de la amplitud (siempre que el 谩ngulo sea peque帽o, menor de 15°). ¡Solo depende de la longitud del hilo y de la gravedad!
La f贸rmula matem谩tica para calcular el per铆odo (T) de un p茅ndulo simple es:
T = 2蟺 · √(L / g)
Donde:
- T: Per铆odo en segundos (s).
- L: Longitud del hilo en metros (m).
- g: Aceleraci贸n de la gravedad (9,8 m/s2).
Enunciado: Un estudiante de la ESO construye en el laboratorio un p茅ndulo utilizando una cuerda de 0,98 metros de longitud. ¿Cu谩nto tiempo tardar谩 el p茅ndulo en realizar una oscilaci贸n completa de ida y vuelta? (Usa g = 9,8 m/s2 y aproxima 蟺 ≈ 3,14).
Soluci贸n paso a paso:
- Anotamos los datos: longitud L = 0,98 m y gravedad g = 9,8 m/s2.
- Aplicamos la f贸rmula del per铆odo: T = 2蟺 · √(L / g).
- Dividimos primero lo que hay dentro de la ra铆z:
L / g = 0,98 / 9,8 = 0,1.
- Calculamos la ra铆z cuadrada de 0,1:
√0,1 ≈ 0,316.
- Multiplicamos los valores finales:
T = 2 · 3,14 · 0,316 ≈ 1,98 segundos (pr谩cticamente 2 segundos).
Respuesta: El p茅ndulo tardar谩 aproximadamente 1,98 segundos en hacer un recorrido completo de ida y vuelta.
6. El Tiro Parab贸lico
El tiro parab贸lico ocurre cuando lanzamos un objeto al aire con una velocidad inicial que forma un 谩ngulo con el suelo (como el chut de un bal贸n de f煤tbol, el lanzamiento de una canasta de baloncesto o un disparo de ca帽贸n). Su trayectoria dibuja una **par谩bola** perfecta.
El gran secreto del Tiro Parab贸lico: Para resolver estos problemas sin volverte loco, el truco consiste en descomponer el movimiento en dos ejes independientes que ocurren al mismo tiempo:
- Eje Horizontal (Eje X): No hay ninguna fuerza que frene o acelere el objeto. Por tanto, se mueve con un M.R.U. (velocidad constante).
- Eje Vertical (Eje Y): El objeto est谩 sometido a la fuerza de la gravedad. Por tanto, se mueve con un M.R.U.A. (Lanzamiento vertical) donde la aceleraci贸n es -g.
Las F贸rmulas de Descomposici贸n
Si lanzamos un objeto con una velocidad inicial v0 y un 谩ngulo 伪, lo primero que debemos hacer siempre es calcular sus componentes de velocidad:
- Velocidad constante en el eje X: vx = v0 · cos(伪)
- Velocidad inicial en el eje Y: v0y = v0 · sin(伪)
Enunciado: Un futbolista chuta un bal贸n con una velocidad de 20 m/s formando un 谩ngulo de 30° con el suelo. ¿Qu茅 altura m谩xima alcanzar谩 el bal贸n? (Datos: sin(30°) = 0,5; g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Descomponer la velocidad: Solo nos interesa el eje vertical (Y) para calcular la altura. Hallamos la velocidad inicial en Y:
v0y = 20 · sin(30°) = 20 · 0,5 = 10 m/s. - Aplicar condici贸n de altura m谩xima: En el punto m谩s alto, el bal贸n se detiene un instante antes de empezar a caer, por lo que su velocidad final en Y es cero (vf_y = 0).
- Calcular el tiempo de subida: Usamos la f贸rmula de la velocidad del MRUA verticales:
vf_y = v0y - g · t → 0 = 10 - 9,8 · t → t = 10 / 9,8 ≈ 1,02 s. - Calcular la altura m谩xima (h): Usamos la ecuaci贸n de la posici贸n en Y:
h = v0y · t - ½ · g · t2
h = 10 · 1,02 - 0,5 · 9,8 · (1,02)2
h = 10,2 - 4,9 · 1,04 → h = 10,2 - 5,1 = 5,1 m.
Respuesta: El bal贸n alcanzar谩 una altura m谩xima de 5,1 metros respecto al suelo.
Enunciado: Con los mismos datos del ejercicio anterior (bal贸n lanzado a 20 m/s con un 谩ngulo de 30°), calcula a qu茅 distancia horizontal caer谩 el bal贸n al suelo. (Dato: cos(30°) = 0,866).
Soluci贸n paso a paso:
- Descomponer la velocidad en el eje X: Calculamos la velocidad horizontal, que se mantendr谩 constante todo el viaje:
vx = 20 · cos(30°) = 20 · 0,866 = 17,32 m/s. - Calcular el tiempo total de vuelo: Como la par谩bola es sim茅trica, el bal贸n tarda lo mismo en subir que en bajar. Si tard贸 1,02 segundos en subir (calculado en el Ejercicio 1), el tiempo total en el aire es el doble:
tvuelo = 1,02 · 2 = 2,04 s. - Calcular el alcance horizontal (x): Al tratarse de un M.R.U. en el eje horizontal, aplicamos su f贸rmula directa:
x = vx · tvuelo → x = 17,32 · 2,04 = 35,33 m.
Respuesta: El bal贸n tocar谩 tierra a una distancia horizontal de 35,33 metros desde el punto de lanzamiento.
7. Velocidad de Escape y de Alcance
En problemas avanzados de cinem谩tica y gravitaci贸n, es com煤n calcular c贸mo interact煤an dos cuerpos en movimiento, ya sea para escapar de la gravedad o para encontrarse en el camino.
A) Velocidad de Escape
Es la velocidad m铆nima inicial que necesita un cuerpo para escapar definitivamente de la atracci贸n gravitatoria de un planeta o astro sin volver a caer. Depende de la masa del planeta (M) y de su radio (R).
ve = √(2 · G · M / R)
Donde G es la Constante de Gravitaci贸n Universal (6,67·10-11 N·m2/kg2).
B) Velocidad y Problemas de Alcance (Cinem谩tica pura)
Ocurren cuando un objeto persigue a otro (por ejemplo, un coche de polic铆a a un ladr贸n). Para resolverlos, la clave es plantear las ecuaciones de posici贸n de ambos objetos e igualarlas (x1 = x2) para encontrar el tiempo exacto del encuentro.
Enunciado: Un cami贸n circula por una recta a 20 m/s. Un coche sale desde el mismo punto 10 segundos despu茅s persigui茅ndolo a 30 m/s. ¿Cu谩nto tardar谩 el coche en alcanzar al cami贸n?
Soluci贸n paso a paso:
- Escribimos la ecuaci贸n de posici贸n del cami贸n: xcami贸n = 20 · t.
- El coche sale 10 segundos tarde, por lo que su tiempo en movimiento es (t - 10). Su ecuaci贸n es: xcoche = 30 · (t - 10) = 30t - 300.
- Igualamos ambas posiciones para el momento del alcance: 20t = 30t - 300.
- Despejamos el tiempo: 300 = 10t → t = 30 segundos.
Respuesta: El coche alcanzar谩 al cami贸n tras 30 segundos desde que inici贸 la marcha el cami贸n (20 segundos desde que sali贸 el coche).
8. Colisiones y Choques (Conservaci贸n del Momento)
Cuando dos cuerpos colisionan, la cinem谩tica se apoya en una ley fundamental de la f铆sica: el Principio de Conservaci贸n del Momento Lineal (p = m·v). Antes y despu茅s del choque, la cantidad de movimiento total del sistema debe ser exactamente la misma.
| Tipo de Colisi贸n |
¿Qu茅 ocurre con los cuerpos? |
F贸rmula del Choque |
| Choque El谩stico |
Los cuerpos rebotan y se separan sin perder energ铆a. |
m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2 |
| Choque Inel谩stico |
Los cuerpos se quedan pegados tras el impacto y se mueven juntos a una velocidad final com煤n (vf). |
m1·u1 + m2·u2 = (m1 + m2) · vf |
*Nota: En las f贸rmulas, u representa las velocidades iniciales antes del impacto y v las velocidades finales despu茅s.
Enunciado: Un coche de 1000 kg que viaja a 20 m/s choca por detr谩s contra un cami贸n parado de 3000 kg (u2 = 0). Si tras el impacto quedan enganchados, ¿a qu茅 velocidad se mover谩n juntos?
Soluci贸n paso a paso:
- Aplicamos la f贸rmula inel谩stica: m1·u1 + m2·u2 = (m1 + m2) · vf.
- Sustituimos los datos: 1000 · 20 + 3000 · 0 = (1000 + 3000) · vf.
- Operamos: 20000 = 4000 · vf.
- Despejamos la velocidad final: vf = 20000 / 4000 = 5 m/s.
Respuesta: Tras el impacto, el conjunto coche-cami贸n se desplazar谩 en l铆nea recta a una velocidad de 5 m/s.
9. Ejercicios Resueltos
Para consolidar estos conceptos, vamos a analizar dos ejemplos pr谩cticos detallados de cada tipolog铆a matem谩tica:
Tipo 1: Velocidad de Escape
Ejercicio 1.1 (Escapar de la Tierra): Calcula la velocidad de escape de la Tierra sabiendo que su masa es de 5,97 · 1024 kg y su radio medio es de 6371 km.
Dato: G = 6,67 · 10-11 N·m2/kg2
Soluci贸n paso a paso:
- Cambio de unidades obligatorio: El radio debe estar en metros.
R = 6371 km = 6.371.000 m = 6,371 · 106 m.
- Aplicar la f贸rmula: ve = √(2 · G · M / R).
ve = √[2 · (6,67·10-11) · (5,97·1024) / (6,371·106)]
- Operar el numerador primero: 2 · 6,67·10-11 · 5,97·1024 = 7,964 · 1014.
- Dividir y hacer la ra铆z:
7,964·1014 / 6,371·106 = 1,25 · 108 → √(1,25·108) ≈ 11180 m/s.
Respuesta: La velocidad de escape de la Tierra es de 11.180 m/s (unos 11,2 km/s).
Ejercicio 1.2 (Escapar de la Luna): La Luna tiene una masa mucho menor, de 7,35 · 1022 kg y un radio de 1737 km. ¿Es m谩s f谩cil o m谩s dif铆cil escapar de ella? Calc煤lalo.
Soluci贸n paso a paso:
- Pasar el radio a metros: R = 1.737.000 m = 1,737 · 106 m.
- Sustituir en la ecuaci贸n:
ve = √[2 · (6,67·10-11) · (7,35·1022) / (1,737·106)]
- Resolver las operaciones:
Numerador = 9,805 · 1012
Divisi贸n = 5,644 · 106 → Ra铆z cuadrada ≈ 2375 m/s.
Respuesta: La velocidad de escape es de 2375 m/s (2,37 km/s). Es mucho m谩s f谩cil escapar de la Luna que de la Tierra debido a su menor gravedad.
Tipo 2: Problemas de Alcance y Encuentro
Ejercicio 2.1 (Alcance con aceleraci贸n): Un ladr贸n huye en un coche a velocidad constante de 25 m/s (MRU). En el instante en que pasa delante de una patrulla, la polic铆a arranca desde el reposo con una aceleraci贸n constante de 3 m/s2 (MRUA). ¿Cu谩nto tardar谩 la polic铆a en alcanzarlo?
Soluci贸n paso a paso:
- Ecuaci贸n del ladr贸n (MRU): xL = 25 · t.
- Ecuaci贸n de la polic铆a (MRUA): Como v0 = 0, la f贸rmula es xP = ½ · a · t2 → xP = 0,5 · 3 · t2 = 1,5t2.
- Igualar posiciones (xL = xP): 25t = 1,5t2.
- Resolver la ecuaci贸n: Podemos simplificar dividiendo ambos lados entre t (ya que t ≠ 0):
25 = 1,5t → t = 25 / 1,5 = 16,67 segundos.
Respuesta: La patrulla de polic铆a tardar谩 16,67 segundos en dar alcance al coche del ladr贸n.
Ejercicio 2.2 (Encuentro en sentidos opuestos): Dos ciudades A y B est谩n separadas por 100 km. Un coche sale de A hacia B a 60 km/h, y en el mismo instante sale una moto de B hacia A a 40 km/h. ¿En qu茅 punto del camino se cruzar谩n?
Soluci贸n paso a paso:
- Ecuaci贸n del coche (sale del origen 0): xcoche = 60 · t.
- Ecuaci贸n de la moto (viene desde el km 100 en sentido contrario): Al ir al rev茅s, su velocidad resta: xmoto = 100 - 40 · t.
- Igualar posiciones: 60t = 100 - 40t.
- Resolver el tiempo: Pasamos las t al mismo lado: 100t = 100 → t = 1 hora.
- Calcular la distancia: Sustituimos en el coche: x = 60 · (1) = 60 km.
Respuesta: Se cruzar谩n exactamente tras 1 hora de viaje, a una distancia de 60 km partiendo desde la ciudad A.
Tipo 3: Colisiones y Choques
Ejercicio 3.1 (Choque el谩stico - Rebote): Una bola de billar blanca de 0,2 kg se mueve a 4 m/s e impacta de frente contra una bola roja de igual masa (0,2 kg) que estaba parada. Si tras el choque la bola blanca se detiene por completo, ¿con qu茅 velocidad saldr谩 despedida la bola roja?
Soluci贸n paso a paso:
- Principio de Conservaci贸n: m1·u1 + m2·u2 = m1·v1 + m2·v2.
- Sustituir datos conocidos: La bola 2 (roja) est谩 parada al inicio (u2 = 0) y la bola 1 (blanca) se detiene al final (v1 = 0):
0,2 · 4 + 0,2 · 0 = 0,2 · 0 + 0,2 · v2
- Operar la ecuaci贸n: 0,8 = 0,2 · v2.
- Despejar v2: v2 = 0,8 / 0,2 = 4 m/s.
Respuesta: La bola roja saldr谩 despedida exactamente a la misma velocidad que llevaba la blanca: 4 m/s (se ha transferido el 100% de la cantidad de movimiento).
Ejercicio 3.2 (Choque inel谩stico - Sentidos contrarios): Un jugador de rugby de 90 kg corre hacia la derecha a 6 m/s y placa a otro jugador de 110 kg que ven铆a de frente (hacia la izquierda) a 4 m/s. Si quedan abrazados tras el impacto, ¿hacia d贸nde y con qu茅 velocidad se mover谩n?
Soluci贸n paso a paso:
- ¡Atenci贸n al signo de las velocidades!: Definimos la derecha como positiva y la izquierda como negativa.
• u1 = +6 m/s
• u2 = -4 m/s (va en sentido contrario)
- Aplicar f贸rmula inel谩stica: m1·u1 + m2·u2 = (m1 + m2) · vf.
- Sustituir los valores num茅ricos:
90 · 6 + 110 · (-4) = (90 + 110) · vf
540 - 440 = 200 · vf → 100 = 200 · vf.
Despejar la velocidad final: vf = 100 / 200 = 0,5 m/s.
Respuesta: Como el resultado es positivo, ambos jugadores se desplazar谩n juntos hacia la derecha a una velocidad lenta de 0,5 m/s.
Enunciado: Un arquero lanza una flecha desde el suelo con una velocidad inicial de 40 m/s y un 谩ngulo de inclinaci贸n de 30°. Calcula el tiempo total que la flecha permanece en el aire hasta volver a tocar el suelo. (Datos: sin(30°) = 0,5; g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Descomponer la velocidad en el eje vertical (Y). El tiempo que un objeto permanece en el aire depende exclusivamente de su movimiento vertical. Calculamos su velocidad inicial en el eje Y:
v0y = v0 · sin(伪) → v0y = 40 · sin(30°) = 40 · 0,5 = 20 m/s.
- Paso 2: Calcular el tiempo de subida. En el punto m谩s alto de la trayectoria, la flecha deja de subir por un instante, por lo que su velocidad vertical final es cero (vf_y = 0). Usamos la f贸rmula de la velocidad del MRUA:
vf_y = v0y - g · t → 0 = 20 - 9,8 · t
Despejamos el tiempo que tarda en alcanzar la altura m谩xima: 9,8 · t = 20 → t = 20 / 9,8 ≈ 2,04 segundos.
- Paso 3: Calcular el tiempo total de vuelo. Como el movimiento parab贸lico es perfectamente sim茅trico si sale y cae al mismo nivel del suelo, la flecha tarda exactamente lo mismo en subir que en bajar. Por tanto, multiplicamos el tiempo de subida por dos:
ttotal = 2,04 · 2 = 4,08 segundos.
Respuesta: La flecha permanecer谩 volando en el aire un tiempo total de 4,08 segundos.
Enunciado: Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Qu茅 altura m谩xima lograr谩 alcanzar antes de empezar a caer? (Usa g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Identificar las condiciones del punto m谩s alto. Cuando el proyectil llega a su altura m谩xima, se frena por completo antes de descender, lo que significa que su velocidad final es cero (vf = 0 m/s). Como se desplaza hacia arriba en contra de la gravedad, la aceleraci贸n es negativa (a = -9,8 m/s2).
- Paso 2: Calcular el tiempo que tarda en subir. Usamos la ecuaci贸n de la velocidad en el MRUA:
vf = v0 - g · t → 0 = 30 - 9,8 · t
Despejamos el tiempo: 9,8 · t = 30 → t = 30 / 9,8 ≈ 3,06 segundos.
- Paso 3: Calcular la altura m谩xima (h). Aplicamos la f贸rmula de la posici贸n vertical sustituyendo el tiempo de subida:
h = v0 · t - ½ · g · t2
h = 30 · 3,06 - 0,5 · 9,8 · (3,06)2
h = 91,8 - 4,9 · 9,36 → h = 91,8 - 45,86 = 45,94 metros.
Respuesta: El proyectil alcanzar谩 una altura m谩xima de 45,94 metros.
Enunciado: Un objeto se deja caer desde la azotea de un edificio de 80 metros de altura. ¿Con qu茅 velocidad impactar谩 contra el suelo? (Usa g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Identificar las variables iniciales. Al decir que el objeto "se deja caer", la velocidad inicial es autom谩ticamente cero (v0 = 0 m/s). La altura o espacio a recorrer es h = 80 m.
- Paso 2: Calcular el tiempo que tarda en caer. Usamos la f贸rmula de la posici贸n para la ca铆da libre (h = ½ · g · t2):
80 = 0,5 · 9,8 · t2 → 80 = 4,9 · t2
Despejamos la t2 dividiendo: t2 = 80 / 4,9 ≈ 16,32.
Hacemos la ra铆z cuadrada para hallar el tiempo: t = √16,32 ≈ 4,04 segundos.
- Paso 3: Calcular la velocidad final de impacto (vf). Ahora que sabemos que tarda 4,04 segundos en caer, usamos la f贸rmula de la velocidad final:
vf = g · t → vf = 9,8 · 4,04 = 39,59 m/s.
Respuesta: El objeto golpear谩 el suelo a una velocidad de 39,59 m/s (lo que equivale aproximadamente a unos 142,5 km/h).
Enunciado: Un tiovivo o carrusel de feria gira a una velocidad constante completando 12 vueltas cada minuto. Calcula su velocidad angular en radianes por segundo (rad/s), su per铆odo (T) y su frecuencia (f).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Calcular la velocidad angular (蠅). El enunciado nos dice que da 12 vueltas por minuto (12 rpm). Sabemos que una vuelta completa son 2蟺 rad y un minuto son 60 segundos. Pasamos las unidades:
蠅 = (12 · 2蟺 rad) / 60 s = 24蟺 / 60 = 0,4蟺 rad/s.
Si aproximamos 蟺 ≈ 3,14, obtenemos: 蠅 ≈ 1,26 rad/s.
- Paso 2: Calcular el per铆odo (T). El per铆odo es el tiempo que tarda en dar una sola vuelta. Usamos la relaci贸n con la velocidad angular:
T = 2蟺 / 蠅 → T = 2蟺 / 0,4蟺 = 1 / 0,4 = 2,5 segundos.
- Paso 3: Calcular la frecuencia (f). La frecuencia es el n煤mero de vueltas por segundo (la inversa del per铆odo):
f = 1 / T → f = 1 / 2,5 = 0,4 Hz.
Respuesta: El carrusel gira a una velocidad angular de 1,26 rad/s, tarda 2,5 segundos en dar una vuelta completa (per铆odo) y tiene una frecuencia de 0,4 Hz.
Enunciado: Las palas de un aerogenerador e贸lico giran alegremente a una velocidad de 6 rad/s. De repente, el viento calma y el freno autom谩tico empieza a actuar con una aceleraci贸n angular constante de -0,5 rad/s2. ¿Cu谩nto tiempo tardar谩n las palas en detenerse por completo?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Identificar los datos.
• Velocidad angular inicial: 蠅0 = 6 rad/s.
• Aceleraci贸n angular: 伪 = -0,5 rad/s2 (es negativa porque frena).
• Velocidad angular final: 蠅f = 0 rad/s (porque se detiene por completo).
- Paso 2: Aplicar la f贸rmula de la velocidad del M.C.A.
蠅f = 蠅0 + 伪 · t
- Paso 3: Sustituir y despejar el tiempo (t).
0 = 6 + (-0,5) · t → 0 = 6 - 0,5t
Pasamos el t茅rmino con la inc贸gnita al otro lado cambiando el signo: 0,5t = 6.
Despejamos dividiendo: t = 6 / 0,5 = 12 segundos.
Respuesta: El aerogenerador tardar谩 exactamente 12 segundos en pararse por completo desde que se activ贸 el freno.
Enunciado: Un relojero est谩 dise帽ando un cl谩sico reloj de abuelo de pared. Para que el mecanismo funcione de forma exacta, necesita que el p茅ndulo tarde exactamente 2 segundos en realizar una oscilaci贸n completa de ida y vuelta (es decir, un per铆odo T = 2 s). ¿Qu茅 longitud exacta en metros debe darle a la cuerda del p茅ndulo? (Usa g = 9,8 m/s2 y aproxima 蟺2 ≈ 9,86).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Plantear la f贸rmula del per铆odo del p茅ndulo.
T = 2蟺 · √(L / g). En este ejercicio, la inc贸gnita es la longitud (L).
- Paso 2: Despejar la longitud elevando al cuadrado. Para quitar la ra铆z, elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
T2 = (2蟺)2 · (L / g) → T2 = 4蟺2 · L / g.
Despejamos la L pasando la gravedad multiplicando y el resto dividiendo:
L = (T2 · g) / (4蟺2).
- Paso 3: Sustituir los valores num茅ricos y resolver.
L = (22 · 9,8) / (4 · 9,86)
L = (4 · 9,8) / (4 · 9,86).
Podemos simplificar eliminando el 4 que multiplica arriba y abajo: L = 9,8 / 9,86 ≈ 0,994 metros.
Respuesta: El relojero debe ajustar la longitud de la cuerda a exactamente 0,994 metros (unos 99,4 cent铆metros) para que el per铆odo sea de 2 segundos.
Enunciado: Un ciclista avanza por un tramo recto de carretera a una velocidad constante de 6 m/s. ¿Cu谩ntos minutos tardar谩 en recorrer una distancia total de 5,4 kil贸metros?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Homogeneizar unidades. La distancia est谩 en kil贸metros, as铆 que la pasamos al Sistema Internacional (metros): d = 5,4 · 1000 = 5400 m.
- Paso 2: Aplicar la f贸rmula del tiempo. Partiendo de v = d / t, despejamos el tiempo: t = d / v.
- Paso 3: Calcular los segundos y pasar a minutos.
t = 5400 / 6 = 900 segundos.
Pasamos a minutos dividiendo entre 60: 900 / 60 = 15 minutos.
Respuesta: El ciclista tardar谩 exactamente 15 minutos en completar el recorrido.
Enunciado: Un tren de alta velocidad que viaja a 50 m/s frena ante una estaci贸n con una aceleraci贸n constante de -2 m/s2. ¿Qu茅 distancia total recorrer谩 desde que empieza a frenar hasta que se detiene por completo?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Identificar datos. Velocidad inicial v0 = 50 m/s, aceleraci贸n a = -2 m/s2 y velocidad final vf = 0 m/s (parado).
- Paso 2: Calcular el tiempo de frenado. Usamos vf = v0 + a · t → 0 = 50 - 2t → 2t = 50 → t = 25 segundos.
- Paso 3: Calcular la distancia de frenado. Usamos la ecuaci贸n de posici贸n:
d = v0·t + ½·a·t2 → d = 50 · 25 + 0,5 · (-2) · 252
d = 1250 - 1 · 625 = 625 metros.
Respuesta: El tren necesita recorrer una distancia de 625 metros para detenerse de forma segura.
Enunciado: Dos pueblos, A y B, est谩n separados por una l铆nea recta de 600 metros. Un peat贸n sale de A hacia B caminando a 2 m/s. Al mismo tiempo, otro peat贸n sale de B hacia A corriendo a 4 m/s. ¿A qu茅 distancia del pueblo A se cruzar谩n en el camino?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Establecer las ecuaciones de posici贸n. Tomamos el pueblo A como origen (x = 0). El peat贸n de B sale desde la posici贸n x = 600 y se mueve hacia la izquierda (velocidad negativa):
• xA = 2 · t
• xB = 600 - 4 · t
- Paso 2: Igualar posiciones para hallar el tiempo de encuentro.
2t = 600 - 4t → 6t = 600 → t = 100 segundos.
- Paso 3: Calcular la posici贸n del cruce. Sustituimos el tiempo en la ecuaci贸n del peat贸n A:
xA = 2 · 100 = 200 metros.
Respuesta: Se cruzar谩n en el camino exactamente a los 100 segundos de salir, a una distancia de 200 metros del pueblo A.
Enunciado: Un ladr贸n huye en un coche a una velocidad constante de 25 m/s. Un coche de polic铆a que se encuentra parado arranca justo cuando el ladr贸n pasa a su lado, persigui茅ndolo con una aceleraci贸n constante de 2 m/s2. ¿Cu谩nto tiempo tardar谩 la polic铆a en alcanzar al ladr贸n?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Plantear las ecuaciones de posici贸n. El ladr贸n se mueve con MRU y la polic铆a con MRUA partiendo del reposo (v0 = 0):
• xladr贸n = 25 · t
• xpolic铆a = ½ · a · t2 = 0,5 · 2 · t2 = t2
- Paso 2: Igualar las ecuaciones para el momento del alcance.
t2 = 25t
- Paso 3: Resolver la ecuaci贸n. Simplificamos dividiendo ambos lados entre t (sabiendo que t ≠ 0):
t = 25 segundos.
Respuesta: El coche de polic铆a lograr谩 alcanzar al veh铆culo del ladr贸n tras una persecuci贸n de 25 segundos.
Enunciado: Desde una ventana situada a una gran altura se lanza un objeto verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m/s. Si impacta contra el suelo con una velocidad final de 34,4 m/s, ¿durante cu谩ntos segundos estuvo cayendo? (Usa g = 9,8 m/s2).
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Analizar signos y datos. Como el movimiento es hacia abajo a favor de la gravedad, podemos tomar el sentido hacia abajo como positivo para simplificar: v0 = 5 m/s, vf = 34,4 m/s, y a = g = 9,8 m/s2.
- Paso 2: Aplicar la f贸rmula de la velocidad.
vf = v0 + g · t
- Paso 3: Sustituir los valores y despejar el tiempo (t).
34,4 = 5 + 9,8 · t → 34,4 - 5 = 9,8 · t → 29,4 = 9,8 · t.
Despejamos dividiendo: t = 29,4 / 9,8 = 3 segundos.
Respuesta: El objeto estuvo cayendo por el aire durante exactamente 3 segundos.
Enunciado: Un guepardo arranca desde el reposo persiguiendo a una presa acelerando a 4 m/s2 durante 5 segundos (Fase 1). Al terminar esos 5 segundos, mantiene la velocidad m谩xima alcanzada constante durante otros 3 segundos (Fase 2). ¿Qu茅 distancia total ha recorrido el guepardo en todo el proceso?
Soluci贸n paso a paso:
- Fase 1 (M.R.U.A.): Arranca de cero (v0 = 0), acelera a a = 4 m/s2 durante t = 5 s.
• Distancia 1: d1 = ½ · a · t2 = 0,5 · 4 · 52 = 2 · 25 = 50 metros.
• Velocidad final alcanzada: vf = v0 + a · t = 0 + 4 · 5 = 20 m/s.
- Fase 2 (M.R.U.): Mantiene la velocidad constante (v = 20 m/s) durante t = 3 s.
• Distancia 2: d2 = v · t = 20 · 3 = 60 metros.
Distancia Total: Sumamos los tramos de ambas fases:
dtotal = d1 + d2 = 50 + 60 = 110 metros.
Respuesta: El guepardo recorre una distancia total combinada de 110 metros.
Enunciado: Un tren de mercanc铆as avanza por una v铆a recta a una velocidad constante de 15 m/s. ¿Cu谩ntos kil贸metros lograr谩 recorrer si mantiene esta marcha durante exactamente 1,5 horas?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Homogeneizar las unidades. La velocidad est谩 en metros por segundo (m/s) y el tiempo en horas (h). Vamos a pasar el tiempo a segundos para poder operar correctamente:
t = 1,5 h · 3600 s/h = 5400 segundos.
- Paso 2: Aplicar la f贸rmula del espacio. En el M.R.U., la distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo:
d = v · t → d = 15 · 5400 = 81000 metros.
- Paso 3: Pasar el resultado a kil贸metros. Como el enunciado nos pide la distancia en kil贸metros, dividimos los metros entre 1000:
81000 m / 1000 = 81 km.
Respuesta: El tren de mercanc铆as habr谩 recorrido una distancia total de 81 kil贸metros.
Enunciado: Un coche de carreras entra en la recta de meta a una velocidad de 20 m/s y pisa el acelerador a fondo, logrando una aceleraci贸n constante de 4 m/s2. ¿Qu茅 distancia total habr谩 recorrido tras pasar 6 segundos acelerando?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Identificar las variables.
• Velocidad inicial: v0 = 20 m/s.
• Aceleraci贸n: a = 4 m/s2.
• Tiempo: t = 6 s.
- Paso 2: Aplicar la f贸rmula de la posici贸n. Usamos la ecuaci贸n completa del MRUA para calcular el espacio avanzado:
d = v0 · t + ½ · a · t2
- Paso 3: Operar con cuidado. Recuerda resolver primero la potencia del tiempo antes de multiplicar:
d = (20 · 6) + (0,5 · 4 · 62)
d = 120 + (2 · 36) → d = 120 + 72 = 192 metros.
Respuesta: El coche de carreras habr谩 avanzado un espacio de 192 metros durante esos 6 segundos.
Enunciado: Un ciclista amateur circula por una carretera recta a una velocidad constante de 6 m/s. En ese mismo instante, 60 metros por detr谩s de 茅l, un ciclista profesional sale en su persecuci贸n a una velocidad constante de 9 m/s. ¿Cu谩nto tiempo tardar谩 el profesional en alcanzar al amateur?
Soluci贸n paso a paso:
- Paso 1: Plantear el sistema de referencia. Situamos el punto cero (x = 0) en el lugar de salida del ciclista profesional. Esto significa que el amateur empieza ya en la posici贸n x = 60 m.
- Paso 2: Escribir las ecuaciones de posici贸n (M.R.U.).
• Profesional: x1 = 9 · t
• Amateur: x2 = 60 + 6 · t
- Paso 3: Igualar las posiciones para el momento del alcance. En el instante del encuentro, x1 = x2:
9t = 60 + 6t
- Paso 4: Resolver la ecuaci贸n. Pasamos las inc贸gnitas a la izquierda restando:
9t - 6t = 60 → 3t = 60 → t = 60 / 3 = 20 segundos.
Respuesta: El ciclista profesional tardar谩 exactamente 20 segundos en alcanzar al amateur.
