Felices fiestas

 

El solsticio de invierno es el día más corto y oscuro, cuando el Sol parece detenerse en su recorrido más bajo por el horizonte al anochecer (solsticio significa "Sol quieto") durante unos días, y luego, a partir del 24 de diciembre, el Sol comienza a regresar lentamente, renaciendo. 

A tí, que lees esto, que nunca te falte la luz en tu vida. A tí que crees en los pequeños negocios como el mío, que el 2026 te traiga todas las oportunidades que mereces.

Gracias a todas mis alumnas y alumnos por confiar en esta pequeña academia y por hacer posible que, después de 10 años, este proyecto siga adelante. En un mundo lleno de alternativas online, habéis elegido mi centro, donde podemos aprender mutuamente.

Gracias por dejarme enseñar lo aprendido en mi formación académica, pero sobre todo lo que la experiencia me ha enseñado: que el verdadero motor del aprendizaje es el deseo de superarse.

Más allá de las notas, creo firmemente que la gratitud y la humildad os llevarán lejos, porque un buen corazón se construye día a día. 

Gracias por creer en este proyecto, donde comunicar y hacerse entender va mucho más allá de conjugar bien el presente perfecto. 

Gracias por querer ser mejores y por permitirme ver vuestro progreso. Permaneced curiosos. 

Felices fiestas y un muy feliz 2026 ✨

Los Radicales

En matemáticas, un radical es la operación inversa a la potenciación. Representa la búsqueda de un número que, elevado a una determinada potencia (el índice), da como resultado el número que está dentro de la raíz (el radicando).

Si bⁿ = a ⇔ ⁿ√a = b

• √: Símbolo de la raíz o radical.
• n: Índice de la raíz (si es 2, no se escribe y es una raíz cuadrada).
• a: Radicando o base.
• b: Raíz o resultado.

Propiedades Fundamentales de los Radicales

1. Relación con las Potencias (Exponente Fraccionario)

Cualquier radical se puede expresar en forma de potencia utilizando un exponente fraccionario. El exponente del interior pasa al numerador y el índice de la raíz al denominador.

ⁿ√(a^m) = a^m/n

Ejemplos:

1. √(x³) = x^3/2
2. ³√(5²) = 5^2/3
3. ⁴√(y) = y^1/4
4. ⁵√(2⁷) = 2^7/5
5. ³√(x) = x^1/3

2. Raíz de un Producto

La raíz de una multiplicación es igual al producto de las raíces de cada uno de los factores por separado, siempre que tengan el mismo índice.

ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b

Ejemplos:

1. √(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6
2. ³√(8x) = ³√8 · ³√x = 2 · ³√x
3. √(25 · 7) = √25 · √7 = 5√7
4. ⁴√(a⁴ · b) = ⁴√(a⁴) · ⁴√b = a · ⁴√b
5. ³√(27 · 64) = ³√27 · ³√64 = 3 · 4 = 12

3. Raíz de un Cociente

La raíz de una división es igual al cociente de las raíces del dividendo y del divisor, manteniendo el mismo índice.

ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b

Ejemplos:

1. √(100 / 4) = √100 / √4 = 10 / 2 = 5
2. ³√(x / 8) = ³√x / ³√8 = ³√x / 2
3. √(9 / 16) = √9 / √16 = 3/4
4. ⁵√(a / b) = ⁵√a / ⁵√b
5. ⁴√(81 / 16) = ⁴√81 / ⁴√16 = 3/2

4. Potencia de un Radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando (el interior) a dicha potencia, dejando el índice de la raíz igual.

( ⁿ√a )^m = ⁿ√(a^m)

Ejemplos:

1. ( √3 )⁴ = √(3⁴) = √81 = 9
2. ( ³√2 )² = ³√(2²) = ³√4
3. ( ⁵√x )³ = ⁵√(x³)
4. ( √y )² = √(y²) = y
5. ( ⁴√5 )³ = ⁴√(5³) = ⁴√125

5. Raíz de un Radical (Raíz de una Raíz)

Para calcular la raíz de otra raíz, se multiplican los índices de ambos radicales y se mantiene el mismo radicando.

^m√( ⁿ√a ) = ^{m · n}√a

Ejemplos:

1. √( √16 ) = ^2·2√16 = ⁴√16 = 2
2. ³√( √x ) = ^3·2√x = ⁶√x
3. ⁴√( ³√5 ) = ^4·3√5 = ¹²√5
4. √( ⁵√y² ) = ^2·5√y² = ¹⁰√y²
5. ³√( ³√2 ) = ^3·3√2 = ⁹√2

Extracción de Factores

Para extraer factores de un radical, primero descomponemos el número en factores primos. Después, dividimos el exponente de cada factor entre el índice de la raíz: el cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que se queda dentro.

Ejemplos explicados paso a paso:

1. √72:
   • Descomposición: 72 = 2³ · 3².
   • Operación: Para el 2³ (3÷2 = cociente 1, resto 1) sale un 2 y queda un 2. Para el 3² (2÷2 = cociente 1, resto 0) sale un 3 y no queda ninguno.
   • Resultado: 2 · 3 · √2 = 6√2
2. ³√81:
   • Descomposición: 81 = 3⁴.
   • Operación: Dividimos el exponente 4 entre el índice 3 (4÷3 = cociente 1, resto 1). Sale un 3 y se queda un 3 dentro.
   • Resultado: 3 ³√3
3. √50:
   • Descomposición: 50 = 2 · 5².
   • Operación: El 2 tiene exponente menor que el índice, se queda dentro. Para el 5² (2÷2 = cociente 1, resto 0) sale un 5.
   • Resultado: 5√2
4. ⁴√x⁹:
   • Operación: Dividimos el exponente 9 entre el índice 4 (9÷4 = cociente 2, resto 1). Salen x² y se queda x¹ dentro.
   • Resultado: x^{2 4}√x
5. √108:
   • Descomposición: 108 = 2² · 3³.
   • Operación: Del 2² sale un 2. Del 3³ (3÷2 = cociente 1, resto 1) sale un 3 y queda un 3.
   • Resultado: 2 · 3 · √3 = 6√3

Racionalización

Racionalizar consiste en eliminar las raíces del denominador de una fracción para facilitar los cálculos matemáticos. En 4º de ESO se estudian principalmente dos casos.

Caso 1: El denominador es una raíz cuadrada única

Se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz cuadrada para que esta se eleve al cuadrado y desaparezca.

a / √b = (a · √b) / b

Ejemplos:

1. 5 / √2 = (5 · √2) / (√2 · √2) = 5√2 / 2
2. 6 / √3 = (6 · √3) / 3 = 2√3 (simplificando 6÷3)
3. 1 / √5 = (1 · √5) / 5 = √5 / 5
4. √2 / √7 = (√2 · √7) / 7 = √14 / 7
5. 10 / √5 = (10 · √5) / 5 = 2√5 (simplificando 10÷5)

Caso 2: El denominador contiene un binomio con raíces (Suma o Resta)

Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador (cambiando el signo central). De este modo, aplicamos la identidad notable de (Suma) · (Diferencia) = Diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

1. 2 / (√3 - 1):
   Multiplicamos por (√3 + 1) → [2(√3 + 1)] / [(√3)² - 1²] = [2(√3 + 1)] / (3 - 1) = [2(√3 + 1)] / 2 = √3 + 1
2. 1 / (√5 + √2):
   Multiplicamos por (√5 - √2) → (√5 - √2) / [(√5)² - (√2)²] = (√5 - √2) / (5 - 2) = (√5 - √2) / 3
3. 3 / (√2 + 1):
   Multiplicamos por (√2 - 1) → [3(√2 - 1)] / [(√2)² - 1²] = [3(√2 - 1)] / (2 - 1) = 3(√2 - 1) u 3√2 - 3
4. √2 / (√6 - √2):
   Multiplicamos por (√6 + √2) → [√2(√6 + √2)] / (6 - 2) = (√12 + 2) / 4 = (2√3 + 2) / 4 = (√3 + 1) / 2
5. 5 / (2 - √3):
   Multiplicamos por (2 + √3) → [5(2 + √3)] / (2² - (√3)²) = [5(2 + √3)] / (4 - 3) = 5(2 + √3) o 10 + 5√3

Caso 3: El denominador es una raíz de índice mayor que 2 (n > 2)

Para eliminar una raíz de índice n (como una raíz cúbica o cuarta), multiplicamos el numerador y el denominador por otra raíz del mismo índice, pero elevando el radicando a la diferencia entre el índice y su exponente original (n - m). Así, al sumar los exponentes, la raíz se cancela.

a / ⁿ√b^m = (a · ⁿ√b^n-m) / b

Ejemplos:

1. 2 / ³√5:
   El índice es 3 y el exponente de 5 es 1. Multiplicamos por ³√5^3-1 = ³√5²:
   (2 · ³√5²) / (³√5 · ³√5²) = (2 · ³√25) / ³√5³ = 2 ³√25 / 5
2. 1 / ⁴√2³:
   El índice es 4 y el exponente es 3. Multiplicamos por ⁴√2^4-3 = ⁴√2¹:
   (1 · ⁴√2) / (⁴√2³ · ⁴√2¹) = ⁴√2 / ⁴√2⁴ = ⁴√2 / 2
3. 6 / ³√3:
   El índice es 3 y el exponente es 1. Multiplicamos por ³√3²:
   (6 · ³√9) / 3 = 2 ³√9 (simplificando 6÷3)
4. x / ⁵√x²:
   El índice es 5 y el exponente es 2. Multiplicamos por ⁵√x^5-2 = ⁵√x³:
   (x · ⁵√x³) / x = ⁵√x³ (las x de fuera se cancelan)
5. 4 / ³√2:
   El índice es 3 y el exponente es 1. Multiplicamos por ³√2² = ³√4:
   (4 · ³√4) / 2 = 2 ³√4 (simplificando 4÷2)

Resumen Visual: Los 3 Casos de Racionalización

Utiliza esta tabla como guía rápida para identificar qué estrategia aplicar según la forma que tenga el denominador de tu fracción:

Caso / Tipo de Denominador	¿Por qué se multiplica? (Factor)	Fórmula General	Ejemplo Rápido
Caso 1: Raíz cuadrada única √b	Por la misma raíz: √b	a / √b = (a·√b) / b	6 / √3 = 6√3 / 3 = 2√3
Caso 2: Binomio con suma o resta √a ± √b	Por su conjugado: cambiando el signo central (∓)	c / (√a+√b) = c(√a-√b) / (a-b)	2 / (√3-1) = 2(√3+1) / 2 = √3+1
Caso 3: Raíz de índice n > 2 n√bm	Restando índice menos exponente: n√bn-m	a / n√bm = (a·n√bn-m) / b	2 / 3√5 = 23√25 / 5

La oración compuesta

La oración compuesta es aquella que tiene dos o más verbos y, por tanto, está formada por dos o más proposiciones o suboraciones unidas entre sí.

1. Las Oraciones Yuxtapuestas

• Qué son: Son oraciones que se unen unas con otras sin ningún nexo o enlace. En su lugar, aparecen separadas únicamente por signos de puntuación (coma ,, punto y coma ; o dos puntos :).
• Cómo identificarlas: Al leer la oración, verás que cada proposición tiene sentido completo o una relación semántica lógica, pero están unidas solo gráficamente.
• Ejemplo rápido: El sol salió*,** los pájaros cantaban.*

2. Las Oraciones Coordinadas

• Qué son: Son proposiciones independientes que se unen mediante un nexo coordinante (una conjunción). Tienen el mismo nivel sintáctico: si las separas, ambas siguen teniendo sentido completo por sí mismas.
• Tipos principales y nexos:
  • Copulativas: Suman significados (y, e, ni). → Fui al cine y compré palomitas.
  • Disyuntivas: Excluyen o dan a elegir (o, u, o bien). → ¿Estudias o trabajas?
  • Adversativas: Expresan oposición o contraste (pero, mas, sino que, sin embargo). → Estudió mucho, pero no aprobó.
  • Distributivas: Alternan acciones que no se excluyen (ya... ya, bien... bien, unos... otros). → Ya ríe, ya llora sin motivo.
  • Explicativas: Una aclara el sentido de la otra (es decir, o sea, esto es). → Es huérfano, es decir, no tiene padres.

3. Las Oraciones Subordinadas

• Qué son: Son proposiciones que dependen de una oración principal. No tienen autonomía sintáctica ni sentido completo por sí solas; cumplen una función dentro de la principal, igual que lo haría una palabra.
• Clasificación según su función:
  • Sustantivas: Funcionan como un Sintagma Nominal (Sujeto, CD, Término, etc.). Se pueden sustituir por el pronombre "eso" o "esas cosas". → Quiero que vengas (→ Quiero eso).
  • De Relativo (o Adjetivas): Funcionan como un adjetivo y modifican a un sustantivo anterior llamado antecedente. Se pueden sustituir por un adjetivo o por "el cual / la cual". → El libro que leí es bueno (→ El libro interesante es bueno).
  • Adverbiales / Circunstanciales: Indican el tiempo, lugar o modo de la acción principal. Se pueden sustituir por adverbios (entonces, allí, así). → Aparqué el coche donde me dijiste (→ Aparqué el coche allí).

4. Las Estructuras Bipolares (Interdependientes)

• Qué son: Introducidas por la Nueva Gramática de la RAE, son estructuras donde no hay una oración principal y otra subordinada de forma clara, ni tampoco una coordinación. Ambas proposiciones se necesitan mutuamente para tener sentido; existe una relación de interdependencia
  .
• Tipos principales:
  • Condicionales: Una proposición (prótasis) establece la condición para que se cumpla la otra (apódosis) (si, a condición de que). → Si estudias, aprobarás.
  • Concesivas: Indican un obstáculo que no impide que se realice la acción (aunque, a pesar de que). → Aunque llueva, saldré a correr.
  • Comparativas y Superlativas: Establecen relaciones de superioridad, inferioridad o igualdad (más... que, tan... como). → Tiene más libros que su hermano.
  • Consecutivas (Intensivas): Expresan la consecuencia de una intensidad previa (tan... que, tanto... que). → Hacía tanto frío que nos congelamos.

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Oración: "Estudió mucho, pero no aprobó el examen"

O. Compuesta Coordinada Adversativa

└── Proposición 1 (P1)

└── [Sujeto Elíptico] Él / Ella

└── Predicado Verbal (SV)

└── estudió Núcleo (V)

└── mucho CC Cantidad (SAdv)

└── pero Nexo Coordinante

└── Proposición 2 (P2)

└── [Sujeto Elíptico] Él / Ella

└── Predicado Verbal (SV)

└── no MO / CC Negación

└── aprobó Núcleo (V)

└── CD (SN)

└── el Det.

└── examen Núcleo

Oración: "Si estudias, aprobarás"

Estructura Bipolar / Periodo Condicional

└── Prótasis (Proposición Condición)

└── Si Nexo (Conj. condicional)

└── Predicado Verbal (SV) [Sujeto Elíptico: Tú]

└── estudias Núcleo (Verbo)

└── Apódosis (Proposición Principal / Consecuencia)

└── Predicado Verbal (SV) [Sujeto Elíptico: Tú]

└── aprobarás Núcleo (Verbo)

Oración: "Él dijo que vendría mañana"

Oración Compleja

└── Sujeto (SN)

└── Él Núcleo (Pronombre)

└── Predicado Verbal (SV)

└── dijo Núcleo (Verbo Principal)

└── Prop. Subordinada Sustantiva / CD (Sustituible por "lo": Él lo dijo)

└── que Nexo (Conjunción)

└── Predicado Verbal (SV) [Sujeto Elíptico: Él]

└── vendría Núcleo (Verbo)

└── CC Tiempo (SAdv)

└── mañana Núcleo (Adv.)

Oración: "El libro que compraste es muy bueno"

Oración Compleja (Copulativa)

└── Sujeto (SN)

└── El Det. (Art.)

└── libro Núcleo (Sustantivo / Antecedente)

└── Prop. Subordinada Adjetiva / CN

└── Predicado Verbal (SV) [Sujeto Elíptico: Tú]

└── que Nexo / CD (Pronombre relativo. Equivale a "compraste el libro")

└── compraste Núcleo (Verbo)

└── Predicado Nominal (SV)

└── es Núcleo (Verbo Copulativo)

└── Atributo (SAdj)

└── muy Cuantificador (Adverbio)

└── bueno Núcleo (Adjetivo)

Oración: "Estudió mucho, pero no aprobó el examen"

Oración Compuesta Coordinada Adversativa

└── Proposición 1 (P1) [Sujeto Elíptico: Él/Ella]

└── Predicado Verbal (SV)

└── estudió Núcleo (Verbo)

└── CC Cantidad (SAdv)

└── mucho Núcleo (Adv.)

└── pero Nexo (Conj. Adversativa)

└── Proposición 2 (P2) [Sujeto Elíptico: Él/Ella]

└── Predicado Verbal (SV)

└── no Modificador Negativo / MO

└── aprobó Núcleo (Verbo)

└── CD (SN) (Sustituible por "lo": no lo aprobó)

└── el Det. (Art.)

└── examen Núcleo (Sust.)

Oración: "Llegué, vi, vencí"

Oración Compuesta Yuxtapuesta (Unión por signos de puntuación)

└── Proposición 1 (P1) [Sujeto Elíptico: Yo]

└── Predicado Verbal (SV)

└── Llegué Núcleo (Verbo)

└── , Enlace de yuxtaposición

└── Proposición 2 (P2) [Sujeto Elíptico: Yo]

└── Predicado Verbal (SV)

└── vi Núcleo (Verbo)

└── , Enlace de yuxtaposición

└── Proposición 3 (P3) [Sujeto Elíptico: Yo]

└── Predicado Verbal (SV)

└── vencí Núcleo (Verbo)