Dinámica

La dinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen (las fuerzas). Para entender cómo se mueven las cosas y cómo se transforma su movimiento, los físicos utilizan el concepto de Energía, que es la capacidad de producir cambios o realizar un trabajo.

En la ESO, cuando estudiamos los movimientos debidos a la posición y a la velocidad, nos centramos en la Energía Mecánica (E_m), que es la suma de dos tipos de energía: la Cinética (E_c) y la Potencial (E_p).

1. Energía Cinética (E_c)

Es la energía que tiene un cuerpo debido a su movimiento. Cualquier objeto que se esté moviendo tiene energía cinética.

• ¿De qué depende? De la masa del objeto (m) y, sobre todo, de su velocidad (v).
• Unidades: La energía siempre se mide en Julios (J) en el Sistema Internacional. La masa debe estar en kilogramos (kg) y la velocidad en metros por segundo (m/s).

E_c = ½ · m · v²

Ejemplo: Un coche circulando por la autopista tiene mucha energía cinética. Si duplica su velocidad, ¡su energía cinética se multiplica por cuatro debido al exponente al cuadrado!

2. Energía Potencial Gravitatoria (E_p)

Es la energía que tiene un cuerpo debido a la posición en la que se encuentra, generalmente su altura respecto al suelo. Se llama "potencial" porque está "almacenada" lista para transformarse en movimiento si el objeto cae.

• ¿De qué depende? De la masa del objeto (m), de la gravedad (g, que en la Tierra es aproximadamente 9,8 m/s²) y de la altura (h).

E_p = m · g · h

Ejemplo: Una manzana colgada de una rama a 3 metros de altura tiene energía potencia. Si la rama se rompe, esa energía acumulada se liberará en forma de caída.

3. Energía Mecánica (E_m) y su Conservación

La Energía Mecánica es simplemente la suma de las dos anteriores en un momento determinado:

E_m = E_c + E_p

El Principio de Conservación de la Energía

Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas de rozamiento (como el aire o la fricción con el suelo), la Energía Mecánica Total se mantiene constante. Esto significa que la energía no se crea ni se destruye, solo se transforma: la energía cinética se convierte en potencial y viceversa.

El ejemplo clásico: Lanzar una piedra hacia arriba

1. En el suelo (justo al lanzarla): La piedra va a máxima velocidad. Su E_c es máxima y su E_p es 0 (porque la altura es cero).
2. Mientras sube: La piedra va frenando (pierde velocidad, disminuye E_c) pero va ganando altura (aumenta E_p). La cinética se está transformando en potencial.
3. En el punto más alto: La piedra se detiene un instante. Su velocidad es 0 (por tanto, E_c = 0) y su altura es máxima (su E_p es máxima).
4. Al caer: Vuelve a ocurrir lo contrario: pierde altura (E_p disminuye) y gana velocidad (E_c aumenta).

En cualquier punto del trayecto, si sumas E_c + E_p, el resultado siempre será el mismo número de Julios.

Resumen para repasar rápido

Tipo de Energía	¿Cuándo la tiene?	Fórmula	Componente clave
Cinética (Ec)	Cuando el objeto se mueve.	Ec = ½ m · v²	Velocidad (v)
Potencial (Ep)	Cuando el objeto está alto.	Ep = m · g · h	Altura (h)
Mecánica (Em)	Es el total de energía.	Em = Ec + Ep	Constante (sin rozamiento)

Ejercicios Resueltos de Energía Mecánica

A continuación, resolvemos paso a paso tres problemas típicos de examen para entender cómo aplicar las fórmulas de energía cinética, potencial y mecánica.

Ejercicio 1: Calculando la Energía Cinética

Enunciado: Un motorista y su moto tienen una masa conjunta de 250 kg y circulan por una carretera a una velocidad constante de 72 km/h. ¿Cuál es su energía cinética?

Solución paso a paso:

1. Identificar los datos: Masa  = 250 kg. Velocidad v = 72 km/h.
2. Cambio de unidades (¡Muy importante!): La velocidad debe estar en metros por segundo m/s. Para pasar de km/h a m/s dividimos entre 3,6:
   72 / 3,6 = 20 m/s
3. Aplicar la fórmula:
   E_c = ½ · m · v²
   E_c = ½ · 250 kg · (20 m/s)²
   E_c = 125 · 400
4. Resultado: E_c = 50.000 Julios (J) (o lo que es lo mismo, 50 kJ).

Ejercicio 2: Calculando la Energía Potencial

Enunciado: Un gato de 4 kg de masa está asomado a una ventana situada en el tercer piso de un edificio, a una altura de 9 metros sobre el suelo. Calcula su energía potencial gravitatoria. (Dato: g = 9,8 , m/s^2

Solución paso a paso:

1. Identificar los datos: Masa m = 4 kg. Altura h = 9 m. Gravedad g = 9,8 m/s².
2. Comprobar unidades: Todas las unidades ya están en el Sistema Internacional (kg, m, m/s²), así que no hay que pasar nada.
3. Aplicar la fórmula:
   E_p = m · g · h
   E_p = 4 kg · 9,8 m/s² · 9 m
4. Resultado: E_p = 352,8 Julios (J).

Ejercicio 3: Conservación de la Energía (El clásico de examen)

Enunciado: Se deja caer una pelota de 0,5 kg desde la azotea de una casa que está a 20 metros de altura. Si despreciamos el rozamiento con el aire, ¿con qué velocidad llegará la pelota al suelo?

Solución paso a paso:

Este problema se resuelve aplicando el Principio de Conservación de la Energía Mecánica. La energía total arriba del todo debe ser igual a la energía total abajo en el suelo (E_{m arriba} = E_{m abajo}).

1. Analizar el punto más alto (Arriba):
   • Como se "deja caer", su velocidad inicial es 0, por lo que su E_c = 0.
   • Su energía potencial es máxima: E_p = m · g · h = 0,5 · 9,8 · 20 = 98 J.
   • Por tanto, la Energía Mecánica Total arriba es: E_m = 0 + 98 = 98 J.
2. Analizar el punto más bajo (Suelo):
   • Al tocar el suelo, su altura es 0, por lo que su E_p = 0.
   • Como la energía mecánica se conserva, abajo la E_m también tiene que ser 98 J.
   • Toda la energía potencial se ha transformado en cinética: E_c = 98 J.
3. Despejar la velocidad:
   E_c = ½ · m · v²
   98 = ½ · 0,5 · v²
   98 = 0,25 · v²
   v² = 98 / 0,25 = 392
   v = √392
4. Resultado: v ≈ 19,8 m/s (Llega al suelo a casi 20 metros por segundo).

Guía de Dinámica y Energía

Comprendiendo las causas del movimiento y la Energía Mecánica

💡 ¿Qué es la Dinámica? La rama de la física que estudia el movimiento y las fuerzas que lo provocan, utilizando el concepto de Energía (capacidad de producir cambios).

⚡ Energía Cinética (E_c)

Es la energía ligada directamente al movimiento de los cuerpos. ¡Cualquier objeto que se mueva la posee!

• Depende de la masa y la velocidad.
• Unidad en el S.I.: Julios (J).

E_c = ½ · m · v²

⚠️ Si duplicas la velocidad, ¡la E_c se cuadriplica!

🏔️ E. Potencial Gravitatoria (E_p)

Es la energía almacenada en un cuerpo debido a la posición o altura en la que se encuentra respecto al suelo.

• Depende de la masa, la altura y la gravedad.
• Gravedad en la Tierra: g ≈ 9.8 m/s².

E_p = m · g · h

🍏 Lista para liberarse y transformarse en movimiento si el objeto cae.

⚙️ La Energía Mecánica (E_m)

Es la **suma total** de las dos energías en un instante preciso:

E_m = E_c + E_p

🔄 Ley de Conservación de la Energía

Si no hay fuerzas de rozamiento (fricción), la Energía Mecánica Total se mantiene constante. La energía no se destruye, solo se transforma.

1. Suelo (Salida)Máxima velocidad.
E_c = Máxima
E_p = 0

2. En SubidaPierde velocidad y gana altura.
E_c se transforma en E_p

3. Punto Más AltoSe detiene un instante.
E_c = 0
E_p = Máxima

4. En CaídaPierde altura y gana velocidad.
E_p se transforma en E_c

✨ En cualquier punto del vuelo: ¡la suma de Julios siempre da el mismo resultado!

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Quiz: Dinámica y Energía Mecánica

Pon a prueba tus conocimientos de Física para la ESO. ¡Resuelve y comprueba!

1. ¿Qué rama de la física estudia el movimiento de los cuerpos y las causas (fuerzas) que lo producen?

a) Cinemática b) Dinámica c) Termodinámica

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Respuesta correcta: b) Dinámica.
La cinemática solo describe el movimiento sin importar las causas, mientras que la dinámica se centra en las fuerzas y la energía que lo provocan.

2. Para que el resultado de la Energía Cinética dé en Julios (J), ¿en qué unidades debe estar la masa y la velocidad?

a) gramos (g) y kilómetros por hora (km/h) b) kilogramos (kg) y metros por segundo (m/s) c) kilogramos (kg) y kilómetros por hora (km/h)

👁️ Ver solución y explicación

Respuesta correcta: b) kilogramos (kg) y metros por segundo (m/s).
Son las unidades oficiales del Sistema Internacional (SI). Si te dan la velocidad en km/h, siempre debes dividirla entre 3,6 antes de operar.

3. Un patinete de 10 kg se mueve a una velocidad de 4 m/s. ¿Cuál es su energía cinética?

a) 40 Julios b) 80 Julios c) 160 Julios

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Respuesta correcta: b) 80 Julios.
Paso a paso: Aplicamos la fórmula E_c = ½ · m · v²
E_c = 0,5 · 10 kg · (4 m/s)²
E_c = 5 · 16 = 80 J.

4. Un libro de 2 kg está situado en una estantería a 3 metros de altura. ¿Qué energía potencial posee? (Dato: g = 9,8 m/s²)

a) 6 Julios b) 19,6 Julios c) 58,8 Julios

👁️ Ver solución y procedimiento

Respuesta correcta: c) 58,8 Julios.
Paso a paso: Usamos la fórmula de la energía potencial E_p = m · g · h
E_p = 2 kg · 9,8 m/s² · 3 m = 58,8 J.

5. Si dejamos caer un objeto desde una ventana (sin rozamiento con el aire), ¿qué le ocurre a su Energía Mecánica total durante la caída?

a) Aumenta porque el cuerpo va cada vez más rápido. b) Disminuye porque el cuerpo pierde altura. c) Permanece constante en todo momento.

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Respuesta correcta: c) Permanece constante en todo momento.
Según el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, la energía potencial que se pierde al disminuir la altura se transforma exactamente en la misma cantidad de energía cinética (velocidad). La suma de ambas siempre da el mismo resultado.

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Cinemática

Guía de Cinemática 

La cinemática es la parte de la física que describe el movimiento de los objetos sin preocuparse por las causas (fuerzas) que lo producen.

Haz clic en cada sección para desplegar los detalles:

🎯 1. Conceptos Básicos del Movimiento ▼

• Posición (x, y): Coordenadas del móvil respecto a un sistema de referencia acordado.
• Trayectoria: La línea o camino geométrico que describe el móvil al desplazarse.
• Espacio recorrido (s): Longitud real medida sobre la trayectoria (siempre suma).
• Desplazamiento (Δx): Vector en línea recta que une el punto inicial con el final (Δx = x_f - x₀).

🚗 2. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) ▼

La trayectoria es recta y el cuerpo viaja con una velocidad constante sin acelerar.

Ecuación de posición: x = x₀ + v · t

Ejemplo rápido:

Un ciclista avanza a 6 m/s estables. Si parte de la posición x₀ = 10 m, al cabo de 5 segundos se hallará en: x = 10 + 6 · 5 = 40 metros.

🍏 3. MRUA y Caída Libre ▼

La velocidad varía proporcionalmente en el tiempo debido a una aceleración constante (a).

Velocidad: v = v₀ + a · t
Posición: x = x₀ + v₀ · t + 0,5 · a · t²

Caso Especial: Caída Libre

Ocurre cuando dejamos caer un cuerpo verticalmente. La aceleración es la gravedad de la Tierra (g ≈ -9,8 m/s²). Si el objeto se "suelta", su velocidad inicial v₀ = 0.

Problema de Examen: Una piedra se deja caer desde un puente y tarda 3 segundos en impactar en el agua. ¿Con qué velocidad llega?
Solución: Usamos v = v₀ + g · t ➔ v = 0 + (-9,8 m/s²) · 3 s = -29,4 m/s (el signo menos indica que se desplaza hacia abajo).

🔄 4. Movimiento Circular Uniforme (MCU) ▼

La trayectoria es una circunferencia y el móvil recorre ángulos iguales en tiempos iguales. La rapidez es constante, pero hay una aceleración centrípeta (a_c) que cambia la dirección del vector velocidad.

Posición angular: φ = φ₀ + ω · t *(φ en radianes)*
Velocidad angular (ω): Mide los radianes por segundo (rad/s).
Relación lineal: v = ω · R *(R = radio de la trayectoria)*
Aceleración centrípeta: a_c = v² / R

Conceptos clave de repetición:

• Periodo (T): Tiempo invertido en completar una vuelta entera (se mide en segundos).
• Frecuencia (f): Número de vueltas completadas por segundo (se mide en Hertz, Hz). f = 1 / T.

📝 Quiz de Cinemática

1. Si corres dando una vuelta completa a una pista circular de 400 metros y terminas donde empezaste, ¿cuál fue tu desplazamiento?

a) 400 metros

b) 0 metros

c) 200 metros

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Respuesta correcta: b) 0 metros. El espacio recorrido es de 400 m, pero como volviste al punto inicial, la diferencia entre la posición final e inicial es cero.

2. Un coche frena pasando de 20 m/s a 0 m/s en 4 segundos. ¿Cuál fue su aceleración?

a) 5 m/s²

b) -5 m/s²

c) -2 m/s²

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Respuesta correcta: b) -5 m/s². Usamos la fórmula a = (v_f - v₀) / t ➔ a = (0 - 20) / 4 = -5 m/s². El signo negativo indica que está frenando.

3. ¿Qué caracteriza principalmente a un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)?

a) Que la aceleración es constante y positiva.

b) Que la velocidad cambia a cada segundo.

c) Que la velocidad es constante y la aceleración es nula.

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Respuesta correcta: c) Que la velocidad es constante y la aceleración es nula. Al no cambiar la velocidad, la aceleración vale cero.

4. En un problema de caída libre, si dejamos caer un objeto, ¿cuánto vale su velocidad inicial?

a) -9,8 m/s

b) 0 m/s

c) Depende de la masa del objeto

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Respuesta correcta: b) 0 m/s. Al "dejarse caer", el cuerpo parte del reposo absoluto de forma pasiva.

5. ¿Qué tipo de aceleración posee un objeto que realiza un MCU con velocidad constante?

a) Aceleración tangencial nula y aceleración centrípeta constante

b) Ningún tipo de aceleración porque la rapidez no cambia

c) Aceleración angular lineal

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Respuesta correcta: a) Aunque la rapidez numérica no varíe, la dirección del vector cambia a cada instante apuntando al centro, lo que genera aceleración centrípeta.

6. ¿Cuál es la unidad oficial de la velocidad angular (ω) según el Sistema Internacional?

a) Revoluciones por minuto (rpm)

b) Grados por segundo (°/s)

c) Radianes por segundo (rad/s)

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Respuesta correcta: c) Radianes por segundo (rad/s). El radián es la unidad angular estandarizada internacionalmente para física.

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Recursos de Física para Secundaria

Campo gravitatorio

El Campo Gravitatorio

Conceptos, propiedades y fórmulas clave

🌌 ¿Qué es el Campo Gravitatorio?

Es la perturbación que una masa (como la Tierra) produce en el espacio que la rodea. Debido a esta perturbación, si colocamos cualquier otra masa en esa zona, experimentará una fuerza de atracción gravitatoria sin necesidad de que haya contacto físico.

Haz clic en cada sección para desplegar la teoría:

📈 1. Intensidad de Campo Gravitatorio (g) ▼

La intensidad del campo (representada por la letra g) mide la fuerza que el campo ejerce por cada unidad de masa colocada en él. Coincide exactamente con la aceleración de la gravedad.

Fórmula en módulo: g = G · M / r²

• G: Constante de gravitación universal (6,67 · 10^-11 N·m²/kg²).
• M: Masa que crea el campo (en kg).
• r: Distancia desde el centro de la masa M hasta el punto donde medimos (en metros).
• Unidades: Se mide en Newtons por kilogramo (N/kg) o en metros por segundo al cuadrado (m/s²).

🔍 2. Características Fundamentales ▼

• Es atractivo: Las fuerzas gravitatorias siempre intentan juntar las masas, nunca repelerlas.
• Es central: El vector campo siempre apunta hacia el centro de la masa que lo genera.
• Es conservativo: El trabajo realizado por el campo para mover una masa de un punto a otro solo depende de las posiciones inicial y final, no del camino seguido.
• Líneas de campo: Son líneas imaginarias que indican la dirección del campo. En este caso, son rectas radiales que entran hacia la masa central.

🚀 3. ¿Cómo varía la gravedad con la altura? ▼

Cuando estamos sobre la superficie de un planeta, la distancia "r" es igual al radio del planeta (R). Si nos elevamos a una altura "h", la distancia total al centro se convierte en (R + h).

Gravedad a una altura h:
g_h = G · M / (R + h)²

A medida que la altura (h) aumenta, el denominador se hace más grande, lo que provoca que la intensidad del campo gravitatorio y el peso de los objetos **disminuyan** progresivamente.

💡 Recordatorio para problemas:

No confundas la Masa (M) que genera el campo con la Masa (m) que sufre la fuerza dentro de él. ¡La intensidad de campo "g" no depende del objeto que dejas caer!

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"Calcula a qué altura, medida desde la superficie terrestre, pierde un cuerpo de masa m, el 25% de su peso."

Paso 1: Comprender los datos

Si el cuerpo pierde el 25% de su peso, significa que su nuevo peso a esa altura (P_h) será el 75% de su peso en la superficie (P₀).
Matemáticamente lo expresamos así: P_h = 0,75 · P₀

Paso 2: Plantear las ecuaciones de la gravedad

Sabemos que el peso es la fuerza gravitatoria (P = m · g), donde la gravedad varía con la distancia al centro de la Tierra (R + h):

• En la superficie: g₀ = G · M / R²
• A una altura h: g_h = G · M / (R + h)²

Paso 3: Relacionar y simplificar

Sustituyendo los valores de g en la relación del peso (g_h = 0,75 · g₀) obtenemos:

G · M / (R + h)² = 0,75 · (G · M / R²)

Eliminamos los términos comunes G y M en ambos lados de la igualdad, quedando una ecuación mucho más limpia:

1 / (R + h)² = 0,75 / R² ➔ R² / (R + h)² = 0,75

Paso 4: Despejar la altura (h)

Para deshacernos de los cuadrados de manera rápida, aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación:

R / (R + h) = √0,75
R / (R + h) ≈ 0,866
R = 0,866 · (R + h) ➔ R = 0,866·R + 0,866·h

Pasamos los términos con R al mismo lado y despejamos h:

R - 0,866·R = 0,866·h
0,134·R = 0,866·h
h = (0,134 / 0,866) · R ➔ h ≈ 0,155 · R

🚀 Resultado Final:

h ≈ 0,155 · R_Tierra

El cuerpo perderá el 25% de su peso a una altura aproximada de 0,155 veces el radio de la Tierra (unos 988 kilometros sobre la superficie).

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Enunciado del problema:

"Un astronauta aterriza en un planeta desconocido cuyo radio es de 4000 km. Al colocar un objeto de 5 kg en el suelo, observa que este experimenta una fuerza de atracción (peso) de 60 N. Calcula la masa de dicho planeta."
Dato: G = 6,67 · 10^-11 N·m²/kg²

Paso 1: Identificar datos y cambiar unidades

Antes de aplicar cualquier fórmula, debemos asegurarnos de que todos los datos se encuentran en el Sistema Internacional (SI):

• Masa del objeto (m) = 5 kg *(Ya está en el SI)*
• Fuerza / Peso (F) = 60 N *(Ya está en el SI)*
• Radio del planeta (R) = 4000 km ➔ 4 · 10⁶ m *(Pasado a metros)*

Paso 2: Calcular la gravedad en la superficie (g)

El peso de un objeto es el resultado de multiplicar su masa por la intensidad de campo del planeta (F = m · g). Despejamos la gravedad superficial:

g = F / m ➔ g = 60 N / 5 kg = 12 m/s²

Paso 3: Plantear la fórmula del campo y despejar la Masa (M)

Utilizamos la ecuación de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie: g = G · M / R².
Para aislar la masa del planeta (M), pasamos el radio al cuadrado multiplicando y la constante G dividiendo:

M = g · R² / G

Paso 4: Sustituir los valores numéricos

Introducimos con cuidado los valores en la ecuación despejada:

M = [12 · (4 · 10⁶)²] / (6,67 · 10^-11)
M = [12 · 1,6 · 10¹³] / (6,67 · 10^-11)
M = (1,92 · 10¹⁴) / (6,67 · 10^-11)

🚀 Resultado Final:

M ≈ 2,88 · 10²⁴ kg

La masa del planeta desconocido es aproximadamente de 2,88 · 10²⁴ kilogramos (lo que equivale más o menos a la mitad de la masa que tiene la Tierra).

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Enunciado del problema:

"Un satélite artificial de 1200 kg gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 600 km sobre su superficie. Calcula la velocidad constante con la que se desplaza en dicha órbita."
Datos: R_Tierra = 6370 km; M_Tierra = 5,97 · 10²⁴ kg; G = 6,67 · 10^-11 N·m²/kg²

Paso 1: Calcular el radio total de la órbita (r)

El radio orbital (r) es la distancia total desde el satélite hasta el centro de la Tierra. Se obtiene sumando el radio del planeta (R) y la altura orbital (h), pasando todo a metros:

r = R + h = 6370 km + 600 km = 6970 km
r = 6,97 · 10⁶ m

Paso 2: Plantear el equilibrio dinámico

Para que el satélite mantenga su órbita circular perfecta sin caerse ni perderse en el espacio, la fuerza de atracción gravitatoria debe ser exactamente igual a la fuerza centrípeta del movimiento:

F_Gravitatoria = F_Centrípeta ➔ G · (M · m) / r² = m · v² / r

Simplificamos la masa del satélite (m) en ambos lados y un radio (r) del denominador, obteniendo la velocidad al cuadrado:

v² = G · M / r ➔ v = √(G · M / r)

Paso 3: Sustituir los valores numéricos

Introducimos los datos planetarios y algebraicos dentro de la raíz:

v = √[ (6,67 · 10^-11 · 5,97 · 10²⁴) / 6,97 · 10⁶ ]
v = √[ (3,982 · 10¹⁴) / 6,97 · 10⁶ ]
v = √[ 5,713 · 10⁷ ]

🚀 Resultado Final:

v ≈ 7558,4 m/s (≈ 27210 km/h)

El satélite se desplaza en órbita a una velocidad constante aproximada de 7558 metros por segundo para mantener su trayectoria estable sin precipitarse.

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Circunferencias concéntricas

Teoría: La Circunferencia

Conceptos básicos, ecuaciones y propiedades

⭕ ¿Qué es una circunferencia?

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia (llamada radio, R) de un punto fijo interior (llamado centro, C).

Haz clic en cada sección para desplegar las fórmulas y propiedades:

📐 1. La Ecuación Ordinaria o Canónica ▼

Si conocemos el centro C(a, b) y el radio R, podemos escribir su ecuación basándonos de forma directa en el Teorema de Pitágoras:

(x - a)² + (y - b)² = R²

⚠️ ¡Atención! Al introducir las coordenadas del centro en los paréntesis, sus signos cambian debido al signo menos (-) de la fórmula.

📊 2. La Ecuación General ▼

Al desarrollar los binomios al cuadrado de la ecuación ordinaria y pasar todo al lado izquierdo, obtenemos la expresión general:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Donde los coeficientes se relacionan con el centro de la siguiente manera:

• a = D / -2 (Coordenada X del centro)
• b = E / -2 (Coordenada Y del centro)
• F = a² + b² - R² (Término independiente)

💡 3. Propiedad de las Circunferencias Concéntricas ▼

La palabra concéntrica significa que tienen el mismo centro pero diferente radio (distinto tamaño).

Efecto matemático: Al compartir el centro, los coeficientes D y E de la ecuación general son exactamente iguales. Dos circunferencias concéntricas solo se diferencian en el valor numérico final (F).

📌 Truco Práctico de Examen:

Si te dan una ecuación general y te piden una concéntrica, copia directamente los términos x² + y² + Dx + Ey. Tu único objetivo será calcular la nueva F usando el punto que te den de dato.

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Enunciado del problema:

"Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia cuya ecuación es x² + y² + 6x + 8y + 4 = 0 y que pasa por el punto (3, -6)."

💡 Concepto clave: Dos circunferencias son concéntricas si comparten exactamente el mismo centro (C), pero tienen radios diferentes. Como comparten el centro, los coeficientes de x e y serán idénticos. La ecuación buscada será de la forma: x² + y² + 6x + 8y + F = 0.

Paso 1: Encontrar el centro de la circunferencia (C)

Dada la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0, identificamos que D = 6 y E = 8.
Las coordenadas del centro C(a, b) se calculan dividiendo los coeficientes entre -2:

a = -D / 2 = -6 / 2 = -3
b = -E / 2 = -8 / 2 = -4
Centro común: C(-3, -4)

Paso 2: Calcular el nuevo radio al cuadrado (R²)

El radio es la distancia entre el centro C(-3, -4) y el punto P(3, -6) por el que pasa la nueva circunferencia. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

R = √[ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ]
R = √[ (3 - (-3))² + (-6 - (-4))² ]
R = √[ (3 + 3)² + (-6 + 4)² ]
R = √[ 6² + (-2)² ] = √[ 36 + 4 ] = √40
R² = 40

Paso 3: Obtener la ecuación general

Sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria de la circunferencia (x - a)² + (y - b)² = R²:

(x - (-3))² + (y - (-4))² = 40
(x + 3)² + (y + 4)² = 40

Desarrollamos las identidades notables:
(x² + 6x + 9) + (y² + 8y + 16) = 40
x² + y² + 6x + 8y + 25 - 40 = 0

🚀 Ecuación de la Circunferencia Concéntrica:

x² + y² + 6x + 8y - 15 = 0

 Concéntrica dado el Radio

"Hallar la ecuación general de la circunferencia concéntrica a x² + y² - 4x + 10y + 2 = 0 sabiendo que su radio mide 6 unidades."

🔍 Ver resolución paso a paso ▼

Paso 1: Identificar el centro común (C)

De la ecuación original obtenemos D = -4 y E = 10. Dividimos entre -2 para hallar el centro:

a = -4 / -2 = 2
b = 10 / -2 = -5 ➔ Centro C(2, -5)

Paso 2: Aplicar el nuevo radio

El enunciado indica que el nuevo radio es R = 6, por lo que R² = 36.

Paso 3: Desarrollar la ecuación ordinaria

Sustituyendo el centro C(2, -5) en (x - a)² + (y - b)² = R²:

(x - 2)² + (y - (-5))² = 36
(x - 2)² + (y + 5)² = 36

Desarrollamos los productos notables:
(x² - 4x + 4) + (y² + 10y + 25) = 36
x² + y² - 4x + 10y + 29 - 36 = 0

Ecuación final: x² + y² - 4x + 10y - 7 = 0

 Concéntrica Tangente a una Recta

"Hallar la ecuación general de la circunferencia concéntrica a (x - 1)² + (y - 3)² = 4 que es tangente a la recta de ecuación 3x - 4y - 6 = 0."

🔍 Ver resolución paso a paso ▼

Paso 1: Identificar el centro común (C)

Al estar dada en forma ordinaria, leemos directamente el centro cambiando el signo de los números dentro de los paréntesis:

Centro común: C(1, 3)

Paso 2: Calcular el nuevo radio (R)

Al ser tangente a la recta, el radio es igual a la distancia desde el centro C(1, 3) hasta la recta 3x - 4y - 6 = 0. Usamos la fórmula de distancia punto-recta:

R = |A·x₀ + B·y₀ + C| / √(A² + B²)
R = |3·(1) - 4·(3) - 6| / √(3² + (-4)²)
R = |3 - 12 - 6| / √(9 + 16)
R = |-15| / √25 = 15 / 5 = 3 ➔ R² = 9

Paso 3: Escribir la ecuación general

Planteamos la ecuación ordinaria con el centro C(1, 3) y R² = 9:

(x - 1)² + (y - 3)² = 9

Desarrollamos los binomios:
x² - 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 9
x² + y² - 2x - 6y + 10 - 9 = 0

Ecuación final: x² + y² - 2x - 6y + 1 = 0

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Ejercicios Resueltos de Matemáticas

Aprendiendo a escribir

Aprender puede ser muy divertido, si lo planteamos como un juego.

Usando fieltro autoadhesivo, papel de lija y materiales reutilizados (unas cajas, cartulinas y pasta maravilla) hemos jugado/aprendido a identificar símbolos y letras, e intentado imitar su forma y reproducirlos con nuestras manos.

Vídeo

MITOSIS Y MEIOSIS

Las células pasan cerca de 90% de su existencia en una etapa conocida como interfase. Dado que las células funcionan de manera más eficiente y confiable cuando son pequeñas, la mayoría de las células llevan a cabo tareas metabólicas regulares, dividiéndose, o muriendo, en lugar de simplemente aumentar de tamaño en la interfase. Las células se “prepararan” para la división mediante la replicación del ADN y la duplicación de los centriolos basados en proteínas. 

Las células se dividen y se reproducen de dos maneras: Mediante la mitosis y la meiosis.

La mitosis es un proceso de la división celular que da lugar a dos células hijas genéticamente idénticas en desarrollo a partir de una sola célula madre. La mitosis es utilizada por los organismos unicelulares para reproducirse (son genéticamente idénticas a sus padres); también se utiliza para el crecimiento orgánico de tejidos, fibras y membranas. En la mitosis, una célula hace una copia exacta de sí misma. Este proceso es lo que está detrás del crecimiento de los niños en adultos, la curación de heridas y moretones, e incluso la regeneración de la piel, las extremidades y apéndices en los animales como lagartijas y lagartos.

La meiosis, por otra parte, es la división de una célula germinal que implica dos fisiones del núcleo, dando lugar a cuatro gametos, o células sexuales, cada una con la mitad del número de cromosomas de la célula original. La reproducción sexual utiliza el proceso de la meiosis para aumentar la diversidad genética. Las células germinales creadas durante la meiosis son diferentes de las de sus células madre. Algunas mutaciones con frecuencia se producen durante la meiosis. Además, las células germinales tienen un solo juego de cromosomas, por lo que se requieren dos células germinales para hacer un conjunto completo de material genético para la descendencia. Por lo tanto, la descendencia es capaz de heredar los genes de ambos padres y sus cuatro abuelos. La diversidad genética hace que una población sea más resistente y adaptable al entorno, lo que aumenta las posibilidades de supervivencia y evolución en el largo plazo.

http://es.calameo.com/read/000001831caf3413a2dad

http://recursos.cnice.mec.es/biosfera/alumno/4ESO/genetica1/contenidos5.htm

http://www.educa.madrid.org/web/cc.nsdelasabiduria.madrid/Ejercicios/Tema7_4eso/reproduccion_celular.htm

http://biologiacampmorvedre.blogspot.com.es/2015/05/4-eso-celula-4.html?m=1



http://sites.google.com/site/hablemosandletstalk

Semana Santa

¿Qué tal estáis pasando estas vacaciones?
Espero que lo estéis pasando bien, aprendiendo y experimentando, pero recordad estudiar un poquito cada día. Sólo queda el tercer trimestre del curso. Y si necesitas ayuda: hablemos.

Ya huele a verano.

The napping house

There is a  house, 

a napping  house, 

where everyone  is sleeping.

And in that house,

there is a bed, 

a cozy bed 

in a napping house,

where everyone is sleeping. 

And in that bed             

there is a granny,      

a snoring granny             

on a cozy bed            

in a napping  house,             

where everyone is sleeping.

And on that granny           

there is a child           

a dreaming child               

on a snoring granny           

on a cozy bed           

in a napping house           

where everyone is sleeping. 

An on that child 

there is a dog 

on a dreaming child

on a snoring granny 

on a cozy bed 

in a napping home  

where everyone is  sleeping. 

And  on that dog 

there is a  cat, 

a snoozing  cat, 

on a  dozing  dog 

on a  dreaming  child 

on a  snoring  granny 

on a  cozy bed in a  napping  house, 

where everyone  is sleeping. 

And on that cat 

there is a mouse                              

on a snoozing cat                              

on a dozing dog                              

on a dreaming child                             

on a snoring granny                             

on a cozy bed                             

in a napping house, 

where everyone is sleeping. 

And on that mouse    

there is a flea     

Can it be? 

A wakeful flea 

on a slumbering mouse 

on a snoozing cat 

on a dozing dog 

on a dreaming child  

on a snoring granny 

on a cozy bed 

in a napping house,        

where everyone is sleeping. 

A wakeful flea who bites the mouse,         

who scares the cat, 

who claws the dog, 

who thumps the child, 

who bumps the granny, 

who breaks the bed, 

in the napping house,

where no one  now is sleeping.

We Have Lift-Off

Today we have travelled to the outer space on our rockets:

We Have Lift-Off by Sean Taylor and Hannah Shaw 

It gave us the chance to review some grammar and vocabulary. And we love countdowns!

http://brightstarbedtimestories.com/we-have-lift-off-book-sean-taylor-hannah-shaw

http://lifeasaneducator.weebly.com/uploads/4/2/9/8/42981125/1418682528.png

http://buggyandbuddy.com/straw-rockets-with-free-rocket-template/

La Unión Europea

La Unión Europea

La Unión Europea (UE) es una comunidad política de derecho constituida por 28 países.
Aunque Reino Unido está en proceso de abandonar esta unión tras el Brexit, todavía pertenece a ella a fecha de Marzo de 2017. En esta prsentación podrás visualizar los países que la componen y capitales.

http://prezi.com/m/qc789ctv39t2/la-union-europea/