Inecuaciones

 

Tema: Inecuaciones (4º ESO)

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que los miembros están relacionados por los signos < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que) o ≥ (mayor o igual que). A diferencia de las ecuaciones, su solución suele ser un conjunto o región de puntos.

1. Inecuaciones de una incógnita (de 1er Grado)

Se resuelven exactamente igual que las ecuaciones de primer grado, pero con una regla de oro muy importante:

⚠️ REGLA DE ORO: Si multiplicas o divides toda la inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia (se da la vuelta).

Ejemplo práctico paso a paso: Resolver -3x + 5 ≤ x - 7

Paso 1: Agrupar las "x" a un lado y los números al otro.
-3x - x ≤ -7 - 5
-4x ≤ -12

Paso 2: Despejar la "x" (Aplicando la regla de oro).
Como el número que acompaña a la x (-4) es negativo, pasa dividiendo y la desigualdad cambia de ≤ a ≥:
x ≥ -12 / (-4)
x ≥ 3

Paso 3: Expresar la solución.
• Como intervalo: [3, +∞) (El corchete indica que el 3 está incluido).
• Gráficamente: Una línea continua sobre la recta numérica que empieza en el 3 (círculo relleno) y va hacia la derecha.

2. Inecuaciones de dos incógnitas (Lineales)

Tienen la estructura general Ax + By < C (o con cualquier otro signo de desigualdad). La solución ya no es un número, sino una región del plano (semiplano).

Ejemplo práctico paso a paso: Resolver 2x + y > 4

Paso 1: Convertir la desigualdad en una igualdad (una recta).
Dibujamos la recta: 2x + y = 4.
Hacemos una tabla de valores rápida:
• Si x = 0 → y = 4 → Punto (0, 4)
• Si y = 0 → 2x = 4 → x = 2 → Punto (2, 0)
Nota: Como el signo es > (estricto), la recta se dibuja discontinua. Si fuera ≥, se dibujaría continua.

Paso 2: Elegir un punto de prueba.
Elegimos un punto cualquiera que no esté en la recta para comprobar si cumple la desigualdad. El más fácil es el origen (0, 0).
Sustituimos x=0 e y=0 en la inecuación original:
2(0) + 0 > 4
0 > 4 → ¡FALSO!

Paso 3: Colorear la región solución.
Como el punto (0, 0) dio un resultado falso, la solución **no** está en el lado del (0, 0). La región correcta es el semiplano contrario. En el blog se debe colorear/sombrear todo ese lado del plano.

3. Inecuaciones de Segundo Grado (Una incógnita)

Tienen la estructura general ax² + bx + c < 0 (o con cualquier otro signo de desigualdad). La solución se obtiene analizando los signos en los intervalos que delimitan las raíces de la ecuación.

Ejemplo práctico paso a paso: Resolver x² - 4x - 5 ≤ 0

Paso 1: Encontrar las raíces (resolver como una ecuación).
Igualamos a cero y aplicamos la fórmula general: x² - 4x - 5 = 0.
Las soluciones obtenidas son x = 5 y x = -1.

Paso 2: Dividir la recta real en intervalos.
Las dos soluciones cortan la recta en tres partes o intervalos infinitos:
• Intervalo A: (-∞, -1)
• Intervalo B: (-1, 5)
• Intervalo C: (5, +∞)

Paso 3: Probar un número de cada intervalo en la inecuación.
Evaluamos el signo sustituyendo un valor cualquiera dentro de cada zona en x² - 4x - 5:
• Para el Intervalo A (probamos x = -2): (-2)² - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 → Positivo (+)
• Para el Intervalo B (probamos x = 0): (0)² - 4(0) - 5 = -5 → Negativo (-)
• Para el Intervalo C (probamos x = 6): (6)² - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 → Positivo (+)

Paso 4: Seleccionar los intervalos de la solución.
Como la inecuación original nos pide los valores menores o iguales que cero (≤ 0), buscamos la región **negativa**.
La solución es el Intervalo B. Al incluir el signo "igual", los extremos llevan corchete:
Solución: [-1, 5]

4. Sistemas de Inecuaciones

Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más inecuaciones. La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de ellas (es decir, la zona común que cumplen todas a la vez).

A) Sistemas con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado en la recta real. La solución final será el tramo donde se crucen o solapen los intervalos solución de ambas.

Ejemplo práctico paso a paso: Resolver el sistema:

Inecuación 1: x + 3 > 1
Inecuación 2: 2x ≤ 8

Paso 1: Resolver la Inecuación 1.
x + 3 > 1 → x > 1 - 3 → x > -2. Intervalo: (-2, +∞)

Paso 2: Resolver la Inecuación 2.
2x ≤ 8 → x ≤ 8 / 2 → x ≤ 4. Intervalo: (-∞, 4]

Paso 3: Buscar la zona común (intersección).
Buscamos los números que son mayores que -2 Y TAMBIÉN menores o iguales que 4.
Solución final: (-2, 4]

B) Sistemas con dos incógnitas

Se representan las rectas correspondientes a cada inecuación en unos ejes de coordenadas. La solución es el **recinto del plano** donde se superponen las regiones de solución individuales.

Ejemplo práctico paso a paso: Resolver el sistema:

Inecuación 1: x + y ≤ 3
Inecuación 2: x ≥ 0

Paso 1: Resolver gráficamente la Inecuación 1 (x + y ≤ 3).
Dibujamos la recta continua x + y = 3. Al probar el punto (0,0), vemos que 0 + 0 ≤ 3 es VERDADERO. Nos quedamos con el semiplano que incluye al origen.

Paso 2: Resolver gráficamente la Inecuación 2 (x ≥ 0).
La recta x = 0 es el propio eje Y. Como queremos los valores de x mayores o iguales que cero, nos quedamos con todo el **lado derecho** del plano.

Paso 3: Determinar la región solución.
La solución final es la porción de plano que está a la derecha del eje Y y por debajo de la recta inclinada x + y = 3. En la pizarra o el blog, este recinto cerrado o "cuña" se resalta con un color más oscuro o un rayado especial.

📌 INFOGRAFÍA: Guía Visual de Inecuaciones (4º ESO)

El esquema definitivo para entender las desigualdades, sus reglas y representación gráfica.

⚠️ ¡La Regla de Oro de las Inecuaciones!

Si multiplicas o divides toda una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad CAMBIA (se da la vuelta).
Ejemplo: -4x ≤ -12 → x ≥ -12 / (-4) → x ≥ 3

🔢 UNA INCÓGNITA (1er y 2º Grado)

Primer Grado: Se despeja como una ecuación corriente (vigilando la regla de oro). La solución es una línea en la recta real.
Solución: [3, +∞)

Segundo Grado: Halla las raíces igualando a cero, divide la recta real en intervalos y prueba un número en cada zona para analizar el signo (+ o -).
Solución: [-1, 5]

📊 DOS INCÓGNITAS (Lineales)

La solución ya no es un intervalo, sino una región entera del plano (semiplano):

• Paso 1: Dibuja la recta asociada haciendo una tabla de valores. (Discontinua si es < o >).
• Paso 2: Elige un punto de prueba fuera de la recta, como el origen (0,0), y sustitúyelo en la inecuación.
• Paso 3: Si es verdadero, colorea ese lado. Si da falso, colorea el lado contrario.

🔀 Sistemas de Inecuaciones

La solución de un sistema es siempre la intersección o zona común que cumplen todas las inecuaciones a la vez:

Con 1 Incógnita:
Resuelve cada una por separado. La solución final será el tramo de la recta real donde se crucen o solapen los intervalos de ambas.

Con 2 Incógnitas:
Representa las regiones del plano de cada inecuación. La solución es el recinto cerrado o "cuña" donde se superponen los colores.

💡 TRUCO DE NOTACIÓN: Los signos estrictos (< o >) usan círculos abiertos  ○  y paréntesis  ( ). Los signos inclusivos (≤ o ≥) usan círculos rellenos  ●  y corchetes  [ ].

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📋 Tabla Resumen: Tipos de Intervalos en Inecuaciones

Usa esta tabla interactiva para memorizar cómo se escribe y se dibuja cada intervalo en la ESO.

Tipo de Intervalo	Signo Algebraico	Notación de Intervalo	Representación Gráfica	¿Extremos Incluidos?
Abierto	a < x < b	(a, b)	Círculos abiertos  ○———○	❌ No (Excluye a y b)
Cerrado	a ≤ x ≤ b	[a, b]	Círculos rellenos  ●———●	✅ Sí (Incluye a y b)
Semiabierto (izq.)	a < x ≤ b	(a, b]	Abierto-Relleno  ○———●	Solo incluye el extremo b
Semiabierto (der.)	a ≤ x < b	[a, b)	Relleno-Abierto  ●———○	Solo incluye el extremo a
Semirrecta (+∞)	x ≥ a	[a, +∞)	Hacia la derecha  ●———→	El infinito nunca lleva corchete

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📋 Tabla de Decisiones: Inecuaciones en el Plano (2 Incógnitas)

Guía rápida para saber cómo dibujar la recta y elegir la región solución según el signo de desigualdad.

Signo	Significado	¿Cómo se dibuja la recta frontera?	¿La recta es parte de la solución?	Estrategia del Punto de Prueba (0,0)
>	Mayor que	〰️ Discontinua / Rayada	❌ No (puntos frontera excluidos)	Si al sustituir x=0, y=0 da VERDADERO → Colorea el lado donde está el (0,0). Si da FALSO → Colorea el semiplano contrario.
<	Menor que	〰️ Discontinua / Rayada	❌ No
≥	Mayor o igual que	➖ Continua / Sólida	✅ Sí (los puntos de la recta sirven)	🚨 ¡Ojo! Si la recta pasa exactamente por encima del origen (0,0), no puedes usarlo como prueba. Elige el (1,1) o cualquier otro.
≤	Menor o igual que	➖ Continua / Sólida	✅ Sí

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